Basen mit einer Basiswechselmatrix berechnen

Question

Aufgabe:

Es sei B = (e1, e2, e3, e4) als Basis von R⁴. Bestimmen Sie die Basen C = (v1, v2, v3, v4) und D = (w1, w2, w3, w4) von R⁴ mit den Basiswechselmatrizen

6	5	2	1
7	9	4	2
4	8	4	3
1	2	1	1

= T_C,B=T_B,D

Problem/Ansatz:

T_C,B=Inverse von B multipliziert mit C

T_B,D=Inverse von D multipliziert mit B

Falls das richtig ist, kann ich ja dann nur die Basen mit Abhängigkeit berechnen? B kann ja irgendeine Basis sein, da ja nicht explizit vorgegeben wurde. Somit wäre T_C,B einfach zu berechnen. Wie kann ich aber dann die Basis von D bestimmen.

Answer 1

T_C,_B bedeutet doch wohl: Wechsel von C nach B. Also werden in der Matrix die alten Basisvektoren, also die von C,

durch die "neuen" , das sind die von B, dargestellt. In der k-ten Spalte stehen dabei die Koeffizienten zur Darstellung des k-ten Basisvektors,also gilt  z.B.

v1 = 6e1 +   7e2 +   4e3 +  1e4

==>  v1 ist die erste Spalte der Matrix, also hast du

 $$v_1=\begin{pmatrix} 6\\7\\4 \\1 \end{pmatrix}v_2=\begin{pmatrix} 5\\9\\8 \\2 \end{pmatrix}$$

etc.

Für D machst du das gleiche mit der inversen Matrix und bekommst

 $$w_1=\begin{pmatrix} 1\\-3\\5 \\0 \end{pmatrix}w_2=\begin{pmatrix} -1\\4\\-7 \\0 \end{pmatrix}$$

etc.