Dimension einer Funktion bestimmen

Question

Ich habe die Funktion f: ℝ²→ℝ, f(x,y)=(x²+y2)²-2x²+2y²+1=(x²+y²-1)²+4y²

Es ist Df(x,y)=(4x(x²+y²-1)             4y(x²+y²-1)+8y)

Für Df(x,y)=(0   0) erhält man die kritischen Punkte (0,0) ,( 1,0) und (-1,0).

f(0,0)=0 und f(1,0)=f(-1,0)=4 somit sind die kritischen Werte 0 und 4.

f^-1(0) besteht aus zwei isolierten Minimalstellen und bildet somit eine Mannigfaltigkeit der Dimension 0.

Mir ist fast alles klar, nur weiß ich nicht, wie ich auf die Dimension 0 komme

Es gilt rang Df(x,y)=1, und somit ist die Kodimension 1.

Kann mir jemand sagen, wieso die Dimension 0 ist und wie ich das ausrechne?

Comments

Ich hätte spontan gesagt, dass wir hier die Dimension 1 haben, da f: ℝ²→ℝ

und nach einem Satz ist eine nichtleere Teilmenge M des ℝ^n+m eine Mannigfaltigkeit der Dimension n, genau dann, wenn es eine stetig differenzierbare Funktion f: ℝ^n+m →ℝ^m mit regulärem Wert 0 gibt, sodass M=f^-1(0).

Wir haben hier ℝ²  und wissen doch schon, dass m=1 ist, weil dies der Rang von Df ist. Es gilt doch daher ℝ^n+m=ℝ² und somit müsste die Dimension meiner Meinung nach 1 sein.

wir haben aber Dimension 0 aufgeschrieben. Wo liegt mein Denkfehler?