Welche Dimension hat der Unterraum des R4, der von den Vektoren (1,0, 2,1) , (0,1,-2,0) , (-1,-1,0,-1) erzeugt wird?

Question

Aufgabe: Welche Dimension hat der Unterraum des R4, der von den Vektoren (1,0, 2,1)  , (0,1,-2,0) , (-1,-1,0,-1) erzeugt wird?

Problem/Ansatz:

Meine Antwort ist : Dimension = 3

Aber laut meiner Berechnung sind  die Vektoren sind nicht linear unabhängig.

1) r - t = 0

2) s - t = 0

3 ) 2r - 2s = 0

4) r - t = 0

Lösung r = s = t . Es gibt also unendlich viele Skalare die den Nullvektor erzeugen können.  Somit Linear abhängig.

Also sind die Vektoren ( 1,0, 2,1)  , (0,1,-2,0) , (-1,-1,0,-1)  keine Basis bzw. Erzeuger des Unterraums.

Vielen Dank im Voraus

:)

Comments

Gelöscht und als Kommentar umgewandelt. Es muss ja nicht dreimal dasselbe hier stehen.

---

Die Dimension ist 2. Lässt sich leicht nachrechnen.

Answer 1

Hallo.

also wenn Deine Rechnung richtig ist

(kannst du übrigens hier überprüfen: https://matrixcalc.org/de/slu.html )

dann ist die Dimension von dem Unterraum eben kleiner als 3. (Aber Deine Schlussfolgerung stimmt, denn beachte: Die Summe der Vektoren ist bereits 0)

Damit ist die Dimension tatsächlich 1 oder 2.

D.h. Du kannst mindestens eins dieser Vektoren als Linearkombination der anderen schreiben. Demnach suchst Du also die Vektoren von den drei, die zueinander linear unabhängig sind (In dem Fall sind es dann sowieso nur noch zwei linear unabhängige Vektoren oder es ist ein eindimensionaler Raum von einem Vektor aufgespannt). Diese(r) linear unabhängige(r) Vektor(en) sind/ist dann Deine Basis

Answer 2

Ja, die Summe der Vektoren ist 0, also sind sie linear abhängig, also ist die Dimension nicht 3. Sondern kleiner.

In Frage kommen also nur 0, 1, 2.

Beachte: zwei Vektoren sind genau dann linear abhängig, wenn sie Vielfache voneinander sind. Heißt auch: zwei Vektoren sind genau dann linear unabhängig, wenn sie keine Vielfache voneinander sind.

Ob das bei zwei Vektoren erfüllt ist, sollte man ohne Rechnung sehen können.

Damit solltest Du die richtige Dimension finden können.

Answer 3

Wegen $$-1\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\2\\1 \end{pmatrix} -1\cdot\begin{pmatrix} 0\\1\\-2\\0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -1\\-1\\0\\-1 \end{pmatrix}$$kann die Dimension nicht 3, sondern höchstens 2 sein. Die beiden ersten Vektoren sind offenbar linear unabhängig, also ist die Dimension 2.

Comments

Hallo die 3 Vektoren sind nicht linear unabhängig . Warum bezeichnet man es trotzdem als Erzeuger .Danke

---

Schau dir die Definition eines Erzeugendensystems an. Der Unterraum ändert sich nicht, wenn man zusätzliche linear abhängige Vektoren hinzufügt. Eine Basis ist dann ein minimales Erzeugendensystem.