Für welche t ∈ R hat der Unterraum Ut die Dimension drei?

Question

hey, könnte mir jemand bei dieser Aufgabe helfen?

Für t ∈ R sei Ut ⊆ R4 der lineare Unterraum des R-Vektorraums R4, welcher von den Vektoren (1, 2, 1, 2), (1, 1, 0, 0), (0, t, 1, 2t) erzeugt wird.
(1.  Für welche t ∈ R hat der Unterraum Ut die Dimension drei?
(2.) Ergänze die Vektoren für t = 0 zu einer Basis des R4

Answer 1

Für welche t ∈ R hat der Unterraum Ut die Dimension drei?

Dazu müssen die drei lin. unabh. sein.

Aus a(1, 2, 1, 2)+b(1, 1, 0, 0)+c (0, t, 1, 2t)=(0,0,0,0)

muss a=b=c=0 folgen.

Du hast   a+b=0
             2a+b+ct=0
             a  +c = 0      ==>    a = -c
             2a +2ct =0

a = -c in die 4. einsetzen -2c +2ct =0
                                           2c( -1+t)=0

c=0 folgt nur, wenn t≠1.

Dann folgt auch a=b=c=0, also ist die Antwort  t≠1.

Wenn du als 4. Vektor (0,0,0,19 nimmst ist die

Determinante der Matrix mit den 4 Spalten -1,

also sind sie lin. unabh. und damit eine Basis.