Hallo Benny,
Der Kern einer Matrix \(A\) ist die Menge aller Vektoren \(v\) für die \(A \cdot v=0\) ist. Setze einfach ein: $$\begin{pmatrix} 11 & 5 & 71 \\ -1 & 97 & 37\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = 0$$ aus der zweiten Zeile folgt $$x = 97y + 37z$$ und einsetzen in die erste Zeile gibt $$\begin{aligned} 11(97y + 37z) + 5y + 71 z &= 0 \\ 1067y + 407 z + 5y + 71 z &= 0 \\ 1072y + 478z &= 0 \\ y &= -\frac{239}{536} z \end{aligned}$$ Setze \(t=z/536\), dann ist $$\begin{aligned} y &= -239 t \\ x &= -97 \cdot 239t + 37 \cdot 536t = -3351t \end{aligned}$$ Folglich ist der Kern der Matrix \(A\) $$\text{Kern}(A) = \begin{pmatrix} -3351 \\ -239 \\ 536 \end{pmatrix} t \quad t \in \mathbb{R}$$ Und die Dimension des Kerns ist 1, da es sich um eine Gerade handelt.
Das Bild von \(A\) ist die Menge aller Vektoren, die aus der Multiplikation von \(A\) mit einem beliebigen Vektor resultieren. Da zwei Spaltenvektoren von \(A\) linear unabhängig sind, ist dies $$\text{Bild}(A) = u \quad u \in \mathbb{R}^2$$ Die Dimension des Bildes ist demzufolge \(=2\).
Zur Bestimmung der Dimension brauchst Du obige Rechnung nicht durchzuführen. Es reicht aus, zu zeigen, dass mindestens 1 Paar der Spaltenvektoren linear unabhängig ist, bzw. es ist ausreichend den Rang der Matrix zu berechnen.
Mit der Matrix \(B\) wäre die Rechnung und auch die Dimension dieselbe. Wenn Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.
Gruß Werner
