Untersuchen von Funktionen auf Surjektivität und Injektivität .. ?

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie ob folgende Funktionen Surjektiv bzw. Injektiv sind. 
$${f}_{1} : \mathbb{C} \setminus\{0\} \to \mathbb{C} \setminus\{0\}, z\to \frac{1}{z}$$
$${f}_{2} : \mathbb{C} \to \mathbb{C}, z\to z+\overline{z}$$
$${f}_{3} : \mathbb{C} \to \mathbb{C}, z\to\sin^8(z) - \sin^5(z) + \sqrt{13}*sin^4(z) + \pi$$
$${f}_{4} : \mathbb{C} \setminus\{1\} \to \mathbb{C}, z\to\frac{1+z}{1-z}$$

Problem/Ansatz:
Undzwar geht es darum wie man komplexe Funktionen auf Surjektivität und Injektivität untersucht, bei reellen Funktionen weiss ich das jedoch weiss ich nicht wie man im komplexen das untersucht.

VG :)

Answer 1

Geht im Komplexen genauso:

Bei 1 :  Seien z1, z2 ∈ ℂ. und f1(z1) = f1(z2)

           also              1/z1    =   1/ z2    und da beide nicht 0 sind

kann man mit z1*-z2 malnehmen und bekommt

                                 z2   = z1 .

also f1 Injektiv.

Und:  Sei  z1 ∈ ℂ \ {0}.  Dann gibt es ein z2 ∈ ℂ \ {0}

mit   f1(z2)=z1 , wähle einfach  z2=1/z1.

also   f1 auch surjektiv.

bei f2 bedenke  :  wenn z= a+bi dann ist z_quer = a-bi

also    z +   z_quer =  2a , also immer reelle, also f2 sicher nicht surjektiv

und zwei mit gleichem Realteil und unterscheidlichen Im-Teilen

haben gleiche Bilder, also auch nicht Injektiv.