Eigenwerte von potenzierter Matrix

Question

ich soll zeigen, dass

λ_i^m is an eigenvalue of A^m of the same multiplicity as λ_i for A.

Könnte mir jemand einen Tipp geben, wie ich da vorgehen soll, weil ich hab gerade keine Idee:/

Answer 1

A·v = λv ⇒ A²·v = A·A·v = A·λv = λ·A·v = λ·λ·v = λ²·v.

Mittels vollständiger Induktion kann man das auf beliebige Potenzen von A verallgemeinern.

Mit multiplicity ist wohl die geometrische Vielfachheit gemeint.

Sei {v₁, ..., v_n} eine linear unabhängige Menge von Eigenvektoren von A zum Eigenwert λ.

Dann ist A^m · v_i  = λ^m · v_i für jedes i = 1 ... n. Also ist {v₁, ..., v_n} eine linear unabhängige Menge von Eigenvektoren von A^m zum Eigenwert λ^m.

Für die algebraische Vielfachheit gilt das wegen det(A) · det(B) = det(A·B) nicht.