Kann der Vektor (2 , 1 , 1) T als Linearkombination der Vektoren v 1 ,v 2 ,v 3 geschrieben werden?

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie, ob die Vektoren v₁= (1,5,1)^T v₂= (0,9,1)^Tv₃= (3,−3,1)^T
des R³ linear unabhängig oder lineare abhängig sind. Kann der Vektor =(2,1,1)^T als Linearkombination der Vektoren v₁,v₂,v₃ geschrieben werden?

Problem/Ansatz:

Hallo denn ersten Teil der Aufgabe habe ich bereits gelöst die Vektoren v₁, v₂ und v₃ sind linenear unabhänig da x=0 y=0 und z=0

Bei dem Teil der Linearkombination bin ich mir allerdings nicht sicher ob ich da richtig ran gegangen bin. Dort komme ich auf die Werte. x=1 y=\( \frac{1}{3} \) und z=\( \frac{2}{3} \)

wenn ich das nun einsetze dann ergibt sich

1*\( \begin{pmatrix} 2\\1\\1 \end{pmatrix} \) +\( \frac{1}{3} \)*\( \begin{pmatrix} 0\\9\\1 \end{pmatrix} \)+\( \frac{2}{3} \)*\( \begin{pmatrix} 3\\-3\\1 \end{pmatrix} \)

was aber nicht dem Vektor \( \begin{pmatrix} 2\\1\\1 \end{pmatrix} \) enspricht. Somit wäre der Vektor aus der Aufgabe keine Linearkombination. Hab ich mich verrechnet oder ist es wirklich möglich das es keine Linearkombination für Vektoren geben kann.

Wäre über Hilfe dankbar

Answer 1

 sind linenear unabhänig da x=0 y=0 und z=0

Das ist aber nicht die einzige Lösung x=3 y=-2 und z=-1 geht auch, also lin.abh.

und bei dem 2. Teil   z.B.       x=-1 y=1 und z=1

Comments

danke für deine schnelle Antwort aber mir ist nicht klar wie du auf die Lösung von x=3, y=-2 und z= -1 kommst.

ich habe durch die vorgegeben Vektoren folgende Gleichungen aufgestellt.

I.   x+0+3z=0

II.  5x+9y-3z=0

III. x+y+z=0

Welche hast du genommen um auf x=3 y=2 und z=-1. Sind die Vektoren dann nun beides? also lin. abh. und lin. unabh.?

Weshalb ich ja zu dem Ergebnis komme das sie linear unabhängig sind. Wie hast du das bei Teil 2 gemacht? Dort habe ich die Gleichungen

I.  x+0+3z=2

II. 5x+9y-3z=1

III. x+y+z=1

genommen weshalb ich auf meine Lösung mit denn Brüchen komme.

Kannst du das eventuell nochmal erklären. Weil du musst ja nochmal andere Gleichungen genommen haben, aber die sehe ich nicht. Weil klar du hast auf jeden Fall recht das die Vektoren mit x=-1 y1 und z=1 dann eine Linearkombination möglich machen. Aber ich weiß halt nicht wie du drauf kommst.

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ich habe durch die vorgegeben Vektoren folgende Gleichungen aufgestellt.

I.   x+0+3z=0

II.  5x+9y-3z=0

III. x+y+z=0

So, und nun Gauss-Algorithmus:

etwa 3. Zeile minus erste

und zweite minus 5* erste  gibt

I.   x+0+3z=0

II.      9y-18z=0

III.       y-2z=0

Dann 9* dritte minus zweite

I.   x+0+3z=0
II.      9y-18z=0
III.               0=0

Und nun siehst du, dass du das z beliebig wählen kannst.

Es gibt also viele Lösungen, z.B.

x=3 y=2 und z=-1  oder auch

x=6 y=4 und z=-2    oder so.

Und mach mal bei dem 2. Gleichungssystem auch Gauss, dann

bekommst du sicher was richtiges.

 

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Alles klar das hab ich zum ersten Teil soweit nun nachvollziehen können danke. Aber wie hast du das mit dem zweiten Teil gemacht. hab ich mich verrechnet oder hast du einfach einen anderen weg genommen?

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Hab nun nochmal denn Gaus angewendet so wie du es geschrieben hast. Komme dabei dann auf x=2 y=-1 und z=0

Dies führt auch zu dem Vektor und somit ist der Vektor aus der Aufgabe eine Linearkombination.