Wieso weisen diese Produktionsfunktionen konstante bzw. keine konst. Skalenerträge auf ? (schriftliche Rechnung)

Question

Aufgabe:

Es sind folgende Produktionsfunktionen gegeben. Welche Produktionsfunktionen weisen konstante Skalenerträge auf ?

a.) x= (K,L)= 3K^(0,5)*L^(0,5) (in den Lösungen: Weist konstante SE auf)

b.) x=(K,L)= 3K^(0,5)*L^(3/2) (in den Lösungen: Weist keine konstanten SE auf)

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht genau, wieso die erste Funktion konstante Skalenerträge aufweist und die Funktion b nicht. Wenn ich für K 10 und L 5 einsetzte bzw. danach 20 und 10 (also mit dem Faktor 2), kommt tatsächlich bei a das Doppelte heraus. Bei b nicht. Bei dem "Beweis", also m*F = F(m*L,m*K) meine ich bei beiden Funktionen auf ein "=" also konstante SE zu kommen. Zudem frage ich mich, ob man das "schnelle sehen/herausfinden kann" ohne gleich für jede Funktion Zahlen einzusetzen oder den schriftlichen "Beweis" zu machen. Die eigentliche Aufgabe bestand nämlich noch aus 2 weiteren Funktionen (MC-Aufgabe). Beim schriftlichen "Beweis" komme ich also nicht auf ein korrektes Ergebnis. Vielen Dank schon einmal im Voraus!

Answer 1

a) f(K,L)= 3*K^{0,5}*L^{0,5}
Beweis: f(2*K,2*L)= 3*(2*K)^{0,5}*(2*L)^{0,5}=3*2^{0,5}*K^{0,5}*2^{0,5}*L^{0,5}=2^{0,5}*2^{0,5}*3*K^{0,5}*L^{0,5}

=2^{0.5+0.5}*3*K^{0,5}*L^{0,5}=2*f(K,L)

=> konstante Skalenerträge

b) f(K,L)= 3K^(0,5)*L^(3/2)

Beweis:
f(2*K,2*L)=3*(2*K)^{0,5}*(2*L)^{3/2}=3*2^{0,5}*K^{0,5}*2^{3/2}*L^{3/2}=2^{0,5}*2^{2/3}*3*K^{0,5}*L^{2/3}

=2^{0.5+2/3}*3*K^{0,5}*L^{2/3}=2^{0.5+2/3}*f(K,L)

=> steigende Skalenerträge, da 0.5+2/3 > 1

Comments

Vielen Dank!

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Außerdem gilt bei Skalenerträgen in Bezug auf Cobb-Douglas Funktionen

a+b > 1 steigende SE
a+b = 1 konstante SE
a+b < 1 sinkende SE

in deinem Beispiel:
a.) x= (K,L)= 3K^(0,5)*L^(0,5)
0,5 + 0,5 = 1 -> konstante Skalenerträge


b.) x=(K,L)= 3K^(0,5)*L^(3/2)
0,5 + 2/3 = 7/6 = 1.167 > 1 -> steigende Skalenerträge