Eigenwerte und Eigenvektoren

Question

Aufgabe:

Es seien x ∈ ℝ,

$$ A _ { x } = \left( \begin{array} { c c c c } { - 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { x } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { - 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } & { - 1 } \end{array} \right) , \quad v _ { 1 } = \left( \begin{array} { r } { 1 } \\ { 0 } \\ { - 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) \quad \text { und } \quad v _ { 2 } = \left( \begin{array} { r } { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { - 1 } \end{array} \right) $$

Bestimmen Sie

a) die Vektoren A_xv_1 und A_xv_2.
Welche Abschätzung für die algebraische Vielfachheit welchen Eigenwerts von A_x folgt hieraus?
b) das charakterische Polynom und die Eigenwerte von A_x in Abhängigkeit von x.
c) eine invertierbare Matrix S, so dass S^{−1}AxS für x = −1 eine Diagonalmatrix ist.
d) eine orthogonale Matrix P, so dass

P^T Ax P für  x = 1 eine Diagonalmatrix ist.

Comments

Hallo

 Matrix mal Vektor ist doch einfach nur ausrechnen.

b) ist auch einfach rechnen!

 c) mit gelöstem b auch nicht schwer.

wo scheiterst du denn, das meiste wär für uns nur Schreibarbeit, wie auch für dich.

Gruß lul

Answer 1

a)

A_x • v₁  =  [-2, 0, 2, 0] =  -2 · [1, 0, -1, 0]  =  -2 · v₁

A_x • v₂  =  [-2, 0, 0, 2] =  -2 · [1, 0, 0, -1]  =  -2 · v₂

v₁  und  v₂   sind also linear unabhängige Eigenvektoren zum  Eigenwert  -2

b)  

Die algebraische Vielfachheit von λ = -2  ist deshalb  ≥ 2

c)

mit x = -1 wird A_x  zu

⎡ -1   1   1   1 ⎤
⎢  1  -1   1   1 ⎥    =  A 
⎢  1   1  -1   1 ⎥
⎣  1   1   1  -1 ⎦

die Eigenwerte erhält man aus det(A - λ·E₄) = 0 :     (E₄ = Einheitsmatrix)

        ⎡ -1-λ     1       1        1 ⎤
det   ⎢    1    -1-λ     1        1 ⎥    =   λ^4 + 4·λ^3 - 6·λ^2 - 16·λ - 16  = 0
        ⎢    1      1    -1-λ       1 ⎥
        ⎣    1      1       1    -1-λ ⎦

Man kennt bereits die (mindestens) doppelte Lösung  λ_1,2  = - 2    (vgl. a))

Deshalb kann man das charakteristische Polynom  zweimal durch den Linearfaktor  (λ+2) dividieren und es bleibt

  λ^2 - 4 = 0     →    λ_3,4  =  ± 2  ,      also  λ_1,2,3  = -2  ,  λ₄ = 2

zugehörige Eigenvektoren ergeben sich durch Einsetzen aus

⎡ -1 - λ       1          1            1   ⎤        ⎡ u ⎤          ⎡ 0 ⎤
⎢    1       -1 - λ       1            1   ⎥   •    ⎢ v ⎥    =    ⎢ 0 ⎥
⎢    1          1       -1 - λ         1   ⎥        ⎢ r ⎥           ⎢ 0 ⎥
⎣    1          1          1        -1 - λ ⎦        ⎣ s ⎦          ⎣ 0 ⎦

 für λ = -2   ⇔    r + s + u + v = 0   , z.B. außer v₁ und v₂    auch v₃ = [-1, 1, 1,- 1]

 für λ = 2    ⇔     r - v = 0 ∧ s - v = 0 ∧ u - v = 0  , z. B.   [1, 1, 1, 1] 

      die Menge der genannten 4 Eigenvektoren ist linear unabhängig

      die Vielfachheit jedes EW stimmt mit der Maximalzahl linear unabhängiger EV überein

             →  A ist diagonalisierbar

Damit ergibt sich S, wenn man die Eigenvektoren als Spalten schreibt:

⎡  1    1    -1    1 ⎤
⎢  0    0     1    1 ⎥   =  S 
⎢ -1    0     1    1 ⎥
⎣  0   -1    -1    1 ⎦

S^-1 •  A  •  S  = D   ist dann eine Diagonalmatrix, auf deren Diagonale die Eigenwerte von A  stehen:

⎡ -2   0   0  0 ⎤
⎢  0  -2   0  0 ⎥   =  D 
⎢  0   0  -2  0 ⎥
⎣  0   0   0  2 ⎦

d) schaffe ich jetzt nicht mehr, komme vielleicht darauf zurück.

Nachtrag:

Habe uns Hilfe geholt:

https://www.mathelounge.de/595839/a-t-b-a-diagonalmatrix-a

Wie oben erhältst man mit x=1 für A_x die EW   λ_1,2 = - 2  und  λ_3,4 = 1 ± √3  und zugehörige EV.

Alle 4 müssen paarweise orthogonal sein

Letztere musst du normieren (durch ihren Betrag dividieren). Mit diesen Spaltenvektoren hast du dann eine passende Matrix P. 

Gruß Wolfgang