Ein Bild drehen (Transformationsmatrix)

Question

Aufgabe:

Die Aufgabe lautet wie folgt:

Ein schiefes Bild soll wieder gerade gerückt werden. Das Bild hat sich um seine Ecke mit den Koordinaten

E = (5,8, -7)^t

um einen Winkel von pi/4 gegen den Uhrzeigersinn gedreht. Die Drehachse besitzt die Richtung:

D = 1/5(4,0,3)^t

Diese Richtung entspricht der der Flächennormalen des Bildes

Zunächste soll die Ecke und die Drehachse in homogenen Koordinaten angegeben werden und dann die Transformationsmatrix M(gesamt) in homogenen Koordinaten angegeben werden, die das Bild wieder in die ursprüngliche Position dreht.

Mein Problem besteht nun darin, dass ich kaum weiß wo ich anfangen soll.

Den ersten Teil mit den Umschreiben in homogene Koordinaten habe ich so gemacht:

E= (5, 8, -7, 1)^t

D = 1/5(4, 0, 3, 1)^t

Ich würde den Eckpunkt nun erst einmal mit einer Translation in den Ursprung legen. Also mit folgender Matrix

1 0 0 -5

0 1 0 -8

0 0 0  1

Nun würde ich das Bild drehen, aber habe keine Ahnung wie.

Und dann wieder in die alte Position zurück schieben.

An diesen beiden Punkten hänge ich aber nun. Kann mir da jemand helfen?

Answer 1

Ich hab mit homogenen Koordinaten noch nicht viel gearbeitet. Deshalb erstmal die Aufgabenstellung veranschaulichen: Dazu hab ich einen Punkt E_v angenommen und den um pi/4 gedreht E_v' ist dann der Punkt, der zurückgedreht werden soll. Drehpunkt ist E und den Achsenvektor hab ich v genannt. Die Bildebene ist gelb.

Ist das die Aufgabenstellung?

Dann kannst Du ja jetzt die homogenen Koordinaten anlegen und vergleichen...

Fehlt bei Deiner Translation nicht was?

Comments

Erst einmal danke.

Ja es fehlt tatsächlich die 3. Zeile bei der Translation.

Die muss lauten: 0 0 0 +7

Mir hilft dein Bild zwar ein bisschen weiter, aber so ganz steige ich da ehrlich gesagt nicht durch.

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Nein, auch nicht, das sollte 0 0 1 7 sein...

Wie sieht denn Deine Rotationsmatrix aus?

Sei T(-1) die eine Richtung und T(1) die andere Richtung mit R__π als Matrix dann sollte

T(1) R_π T(-1)

den Job erledigen....

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Mit der Rotationsmatrix bin ich mir nicht sicher

Ich würde es vielleicht so machen:

$$\begin{pmatrix} cos(\frac{\pi}{4}) & -sin(\frac{\pi}{4}) & 0 & 0\\ sin(\frac{\pi}{4}) & cos(\frac{\pi}{4}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Wozu brauche ich dann aber die Drehachse: D = 1/5(4, 0, 3, 1)^t?

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Nein, das ist eine Drehung um die Koordinatenachse. Da musst Du viele davon zusammen schalten, bis Du Deine Achsendrehung beinander hast. Guckst Du

https://ggbm.at/fdmmvvma

oder Du nimmst meine von oben und änderst sie nach +pi, überträgst sie in die homogene Form

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Ist die Frage noch aktuell?

Ich hab interessehalber auch ausgeknobelt, wie man mit Achsendrehungen Rotationsmatrizen xyz zu recht kommt.