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Aufgabe:

Sei f : ℝ^n → ℝ^m eine lineare Abbildung.

Beweise mithilfe des Kerns und Bildes von der Darstellungsmatrix folgende Aussagen:

i) Zeigen Sie, dass m = n ist, wenn f ein Isomorphismus ist.

ii)  Zeigen Sie, dass die Aussage aus i) keine Äquivalenz sondern eine Implikation ist (Rückrichtung gilt nicht)


Problem/Ansatz:

Könnte bitte jemand helfen beiden nicht weiter, würde mir jemand erklären, wie ich es beweisen kann?

Vielen Dank

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Beste Antwort

Wenn f ein Isom. ist, dann ist er Injektiv , also Kern(f) = {0}

und er ist surjektiv, also Bild(f) = R^m.  ==>  rang(f)=m

MIt   dim(Kern(f)) + dim(Bild(f) = dim (R^n) folgt

            0 + m = n .

Und eine lineare Abbildung von R^2 nach R^2 ist z.B.

auch die Nullabbildung, die ist aber nicht Injektiv,

also kein Isom.

Avatar von 289 k 🚀

Dankeschön mathef

Aber was ich nicht verstehe ist die d)

Was ist mit der Implikation eigentlich gemeint?

Marcy versteht nichts :(

Es soll doch gezeigt werden, dass f ein Isomorphismus ist, wenn m = n gilt. und du hast jetzt gezeigt, dass es nicht gilt, or?

Es war zu zeigen:

Wenn n=m dann muss f nicht notwendig ein Isomorphismus sein.

Das Beispiel Nullabbildung zeigt dies.

Danke.

Dann war das ja schon die d) die du gezeigt hast.

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