Erklärung Gruppe (G,*) und eine Verknüpfung. Wie schreibe ich die Verknüpfung aus ?

Question

Aufgabe:

In welchen der folgenden Fällen ist (G,*) eine Gruppe?

(a) G := R mit x*y = x+y-xy Das wäre die Lösung

Problem/Ansatz:

Ich weiss nicht wie ich das überprüfen soll, die Verknüpfung muss zum Beispiel assoziativ sein.
Dann brauche ich ja x,y,z aus R zu überprüfen, ich fange an mal (ich hoffe ich mache das richtig) die Verknüpfung formell auf zu schreiben. 

Also folgende Abbildung:

x*y : GxG → G
        (x,y) ↦ x+y-xy

Damit ich aber Assoziativität zeigen kann muss ich wie gesagt x,y,z aus R nehmen und diese Verknüpfung aufschreiben:

Frage
Was wäre eine Verknüpfung mit xyz wenn die Verknüpfung x*y nur für zwei Elemenete x,y definiert ist ? 

Gemäss Lösung ist es:

(x*y)*z = (x+y-xy)+z - (x+y-xy)z                   I z reinmultpiliziert.
            = x+y -xy +z - (xz + yz - xyz)           I Klammer auflösen.
            =  x+y -xy +z - xz - yz + xyz             I keine Ahnunge welche Umformung gemacht wurde ab hier. 
            = x+y + z -yz - (xy + xz -xyz)
            = x + (y+z -yz) - x(y+z-yz)
            = x*(y*z)


Ich sehe hier nichtmal was genau die Verknüpfung (x*y)*z ist und wie man auf den ersten Schritt diese Verknüpfung überhaupt aufzuschreiben kommt: Ich ätte zum Beispiel gesagt das die Verknüpfung (x*y)*z folgendes ist:


(x*y)*z) = (x+y-xy) o z  I Stur von der Definition ausgegangen, aber ich weiss nicht was mit z ist. 

Answer 1

Was wäre eine Verknüpfung mit xyz wenn die Verknüpfung x*y nur für zwei Elemente x,y definiert ist ?

wenn du die Definition mal mit a,b hinschreibst, damit man nicht mit den vielen x,y

     durcheinander kommt, dann heißt das ja       a*b  =   a+b -ab

Und  (x*y)*z bekommst du, indem du a=x*y  und b= z nimmst und hast dann
 erst mal                          x*y + z - (x*y)z   und da haben die dann gleich 

                         statt (x*y) schon   x+y-xy eingesetzt.

                           (x+y-xy)+z - (x+y-xy)z

                             und dann - wie du ja erkannt hast :         I z reinmultpiliziert.
            = x+y -xy +z - (xz + yz - xyz)           I Klammer auflösen.
            =  x+y -xy +z - xz - yz + xyz          jetzt einfach nur umgeordnet , damit man wieder

                                       auf eine  Form wie     a+b -ab   kommt.

                                       Und weil ja im Ergebnis irgedwie (y*z) gebraucht wird, versucht

                                      man den Term  y+z-yz zu erhalten:

                = x+y + z -yz - (xy + xz -xyz)   und in der Klammer bekommt man diesen Term

                                                                    durch das Ausklammern von x auch hin

            = x + (y+z -yz) - x(y+z-yz)  und jetzt die Definition     a*b  =   a+b -ab

                   anwenden mit a=y  und b= z gibt 
            = x + (y*z)  - x (y*z)    und dann nochmal mit a=x und b= y*z und du hast es:

            =  x*(y*z) .

Answer 2

(x*y)*z

=(x+y+xy)z wegen der Definition

Um weiter zu rechnen musst du erneut die Definition anwenden, und zwar mit x== (x+y +xy) und y==z .Beachte, dass * die Gruppen Multiplikation ist und die normale Multiplikation ohne Verknüpfungszeichen notiert wird.

Also

(x+y+xy)*z

=(x+y+xy)+z+(x+y+xy)z

Berechnen nun

x(y*z) und vergleiche :

x(y+z+yz)

=x+(y+z+yz) +x(y+z+yz)

Das ist dasselbe, da die gewöhnliche Addition und Multiplikation der reellen Zahlen kommutativ und assoziativ und distributiv ist.