Gruppe mit Verknüpfung auf Abb(M,G) zeigen

Question

Aufgabe:

Es seien M eine Menge und (G, ⋆) eine Gruppe. Zeigen Sie:

(a) Die Menge Abb(M,G) ist mit der Verknüpfung μ auf Abb(M,G) gegeben durch

               μ(f, g): M → G, m → f(m) * g(m)

eine Gruppe.

(b) Zeigen Sie: ∀m0 ∈ M ist die Abbildung φ: Abb(M,G) → G, f → f(m0) ein Gruppenhomomorphismus.

Irgendwie weiß ich zunächst gar nicht, was die Verknüpfung bei a) machen soll. Die soll doch eine Abbildung

Abb(M,G) x Abb(M,G)  → Abb(M,G) definieren, damit Abb(M,G) eine Gruppe ist. Aber wieso wird dann ein m∈ M auf f(m) * g(m) abgebildet, also wieder ein Element. Müsste die Verknüpfung nicht etwas mit Abbildungen machen?

Wenn das geklärt ist, kann ich eventuell weitermachen.

Answer 1

 Wenn f und g Abbildungen aus Abb(M,G) sind,

dann wird durch  μ(f, g): M → G, m → f(m) * g(m)

ja eine neue Abbildung z: M → G definiert , also wieder

ein Element aus Abb(M,G) , welches dadurch entsteht,

dass man die Bilder von f und g mit der Verknüpfung

aus der Gruppe G verknüpft.

Comments

achso na klar, danke.

Kannst du mir vielleicht noch bei den Gruppenaxiomen behilflich sein?

zB. assoziativität

μ(f, g) := f • g 

z.z.:

∀f,g,h∈Abb(M,G): f • (g • h) = (f • g) • h

hier weiß ich nicht wie genau ich bei der Rechnung mit der Verknüpfung umgehen soll..

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wäre super, wenn du mir da noch kurz helfen könntest :)