1. **Assoziativität:** Für alle f, g, h ∈ Abb(M, G) muss gelten: (f • g) • h = f • (g • h). Dies folgt aus der Assoziativität in der Gruppe (G, ·, e).
Das muss man wohl etwas genauer begründen, etwa so:
Seien f, g, h ∈ Abb(M, G) . Dann gilt nach Def. von • für alle x∈M
((f • g) • h)(x)
= (f • g)(x) · h(x)
= (f(x) · g(x) ) · h(x) und wegen Assoziativ. in G
= f(x) · ( g(x) · h(x) ) und wieder die Def.
= f(x) · (g • h) (x) und wieder die Def.
= ( f • (g • h) ) (x)
Weil nun die Abbildungen (f • g) • h und f • (g • h) gleiche Definitions- und
Zielbereiche haben und für alle x∈M gleiche Werte haben, sind sie gleich.
Also (f • g) • h = f • (g • h) q.e.d.
2. **Neutrales Element:** Es existiert eine Abbildung e ∈ Abb(M, G), so dass für alle f ∈ Abb(M, G) gilt: e • f = f • e = f. Das neutrale Element e ist die konstante Abbildung, die jedes Element in G Hier muss es wohl heißen: in M.
auf das neutrale Element e in der Gruppe G abbildet.