Beweis: Gruppe G und a € G; n € Z so dass a^n = e (e: neutrales Element), wenn m ein Teiler von n ist

Question

Moin! 

Sei \(G\) eine Gruppe und sei \(a \in G\) ein Element von endlicher Ordnung m. Dann gilt für alle \(n \in Z\) genau dann \(a^n = e\), wenn \(m\) ein Teiler von \(n\) ist.

Sei \(m\) ein Teiler von \(n\). Dann existiert \(q \in Z \) mit \(n = qm\).

Nun ist \(a^n = a^{qm} = (a^m)^q = e^q = e\). 

Wenn ich in diese Zeile mal Beispiel-Werte einsetze, dann erscheint, mir diese Aussage allein schon falsch...  

\(a^n = a^{qm} = (a^m)^q = e^q = e\)

\(2^4 = 2^{2*2} = (2^2)^2 = 16 = 1^2 = 1\)

e = neutrales Element, und

e = 1 (?), weil (G, • ) (•: multiplikation) ?

wenn meine Annahme über e stimmt, dann ist die Gleichung falsch oder?

Answer 1

In welcher Gruppe betrachtest du denn dein Beispiel.

Dazu muss 2 ein Element endlicher Ordnung m sein , also 

gilt 2^m = 1 .  Das wäre etwa in der Gruppe (ℤ₃^* , · ) der Fall.

Und dort ist auch 2^4 = 1, also alles klar.

Einen neuen Gedanken braucht man wohl

für den Beweis der Rückrichtung.

Comments

Du hast Recht mit \(Z_3\). 
Die Restklassengruppe wird allerdings nirgends angegeben. 

Ausgegangen bin ich von folgendem Satz:

Kann es sein, dass mein Fehler war, diese Gleichung überhaupt nach gut dünken mit Werten zu befüllen? Würde ich den Rest des Beweises verstehen, hätte sich vielleicht rausgestellt, dass das was ich gemacht habe ohnehin keinen Sinn ergibt... 

Ich entschuldige mich schonmal präventiv, falls du wegen meinem Unverständnis für die Aufgabe unnötig viel Zeit in dein Kommentar investiert haben solltest. 

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Du musst dich nicht entschuldigen. Das Forum ist ja gerade dafür da, dass man bei Verständnisschwierigkeiten Hilfen bekommt.

Bei dem Beweis ist der Autor davon ausgegangen, dass die Vor.'en des Satzes erfüllt sind. Also:   " a Ist ein Element von endliches Ordnung m. "

Und für ein solches kannst du dann auch Beispiele betrachten. Das ist zum Verständnis manchmal nicht schlecht. Und dann wirst du sehen, dass die Überlegung auch stimmt.