Wie berechne ich die Konsumentenrente im Monopol?

Question

Aufgabe:

Ein Monopolist hat die Kostenfunktion K(Q)= 4q^2. + 300q + 400

Dabei sind

K= die Produktionskosten in Euro

q= die produzierte Menge in Stücke

Die gesellschaftliche Nachfragefunktion lautet Q(p)= 200 - 0,1p mit

Q= nachgefragte Menge in Stück

p= Preis in Euro

Mein Ansatz wäre :

G= p * q - k

G= 3000q - 10q² - 4q² + 300q + 400

G= 2700q - 14q² + 400

G= 2700 - 28 q = 0

G= 28 ist ein Maximum

2700 - 28q = 0

q= 2700 / 28 = 98,43

p= 2000 - 98,43 = 1901. 57

Aber ich bin mir irgendwie sicher dass das falsch ist. Kann mir jemand sein eigenen Lösungsweg zu dieser Aufgabe sagen.

Answer 1

Da es ein Monopolist ist, kann er die Preise frei setzen. Du kannst annehmen, dass er sie gewinnmaximeirend setzen wird. Damit kannst aus Nachfrage und Kostenfunktion eine Gewinnfunktion bilden, die du in abhängigkeit vom Preis (oder der Menge) maximieren musst, dann kriegst du P und Q im Gewinnmaximum für den monopolisten. Mit den Angaben und der Nachfragefunktion kannst du dann die Konsumentenrente ausrechnen.

K = 6q²+200q+500
Nachfrage q = 200-p/10
oder:
p=2000-10q

G = p*q-K
G = 2000q-10q²-6q²-200q-500
G = 1800q-16q²-500
G' = 1800-32q = 0
G'' = -32 -> ist tatsächlich ein maximum

1800-32q = 0
q = 1800/32 = 56.25
p = 2000-562.5 = 1437.5

test:
q = 200-p/10 = 200-143.75 = 56.25

damit ist die KR:
(2000-1437.5)*56.25*1/2 = 15820,3125