Vollständige Induktion (Induktionsschritt): Summenformel von a_k = 1/(k(k-1))

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion, dass gilt:

∑ⁿ \( \frac{1}{k(k-1)} \) = 1-\( \frac{1}{n} \)   für n≥2

^k=2

Problem/Ansatz:

Ich bin bis zum Induktionsschritt gekommen. Ich habe 2-\( \frac{1}{n} \) +n rausbekommen. Wie kann ich das umformen, dass 1-\( \frac{1}{n+1} \) rauskommt?

Answer 1

"Ich habe 2-\(\frac{1}{n} \)+n rausbekommen."

Kann es sein, dass du  2-\(\frac{1+n}{n} \) meinst? Das würde (wegen \(\frac{n}{n}=1 \)) das ergeben, was du haben willst.

Comments

Nein, ich habe ja 1-\( \frac{1}{n} \) +(n+1) gerechnet. Da kommt ja 2-(1/n)+n raus oder?

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Warum addierst du denn (n+1) und nicht einen Bruch?

(n+1) kommt gar nicht vor als Summand.

Answer 2

Du solltest das ungefähr gleich rechnen wie hier https://www.mathelounge.de/528694/vollstandige-induktion-summenformel-fur-teleskopsumme

Comments

@Lu und @abakus

Ich habe mal Folgendes gemacht (mich interessiert die Aufgabe :))

\( \sum\limits_{k=2}^{n+1}{\frac{1}{k(k-1)}} = \sum\limits_{k=2}^{n}{\frac{1}{k(k-1)}} + (1-\frac{1}{n+1}) = (1-\frac{1}{n})+(1-\frac{1}{n+1}) \\ = 2-\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)

macht das Sinn? 

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Im Induktionsschritt hast du gerechnet:

...= (1 - 1/n) + 1/(n(n+1))

= 1 - (n+1) /(n(n+1)) + 1/(n(n+1))

= 1 + (-(n+1) + 1)/(n(n+1))

= 1 + (-n)/(n(n+1))

= 1 - 1/(n+1)

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Vielen Dank, habe es jetzt verstanden :)

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Bitte. Gern geschehen!