Ein Monopolist setzt ein Gut ab, dessen Nachfrage in linearer Weise vom festgesetzten Preis abhängt.
Dann hängt auch der zu verlangende Preis linear von der abzusetzenden Menge ab. Preis-Absatz-Funktion (PAF) ist
(1) p(x) = mx + n
Dabei ist x die abgesetzte Menge und p(x) der Preis pro Mengeneinheit, der dafür angesetzt werden kann.
Es müssen m und n bestimmt werden. Das geschieht über die Erlösfunktion, weil sie aus der PAF hervorgeht und Eigenschaften der Erlösfunktion gegeben sind.
Der Monopolist erzielt maximalen Erlös
Erlösfunktion ist E(x) = x·p(x), also
(2) E(x) = mx2 + nx.
maximalen Erlös bei einem Preis von 100 (Geldeinheiten). Bei diesem Preis beträgt die Nachfrage 20 Stück.
Der Scheitelpunkt von E(x) liegt bei x = 20.
Der Scheitelpunkt von mx2 + nx liegt bei x = -n/(2m). Sag bescheid wenn du nicht weißt wie man den Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion bestimmt.
Also muss
(3) 20 = -n/(2m)
sein. Außerdem muss p(20) = 100 sein. Also gilt
(4) 100 = m·20 + n.
Löse das Gleichungssystem aus den Gleichungen (3) und (4). Setze in (1) und (2) ein.
Wie groß wäre der Erlös bei einem Preis von 160?
Löse die Gleichung
160 = mx + n
mit den soeben bestimmten Werten für m und n um die Absatzmenge zu diesem Preis zu bestimmen. Setze das Ergbnis in die Erlösfunktion ein.
