Wie berechne ich mir den Erlös bei einem Monopolist?

Question

Aufgabe:

Ein Monopolist setzt ein Gut ab, dessen Nachfrage in linearer Weise vom festgesetzten Preis abhängt. Der Monopolist erzielt maximalen Erlös bei einem Preis von 100 (Geldeinheiten). Bei diesem Preis beträgt die Nachfrage 20 Stück.

Wie groß wäre der Erlös bei einem Preis von 160?

Answer 1

Ein Monopolist setzt ein Gut ab, dessen Nachfrage in linearer Weise vom festgesetzten Preis abhängt.

Dann hängt auch der zu verlangende Preis linear von der abzusetzenden Menge ab. Preis-Absatz-Funktion (PAF) ist

(1)        p(x) = mx + n

Dabei ist x die abgesetzte Menge und p(x) der Preis pro Mengeneinheit, der dafür angesetzt werden kann.

Es müssen m und n bestimmt werden. Das geschieht über die Erlösfunktion, weil sie aus der PAF hervorgeht und Eigenschaften der Erlösfunktion gegeben sind.

Der Monopolist erzielt maximalen Erlös

Erlösfunktion ist E(x) = x·p(x), also

(2)        E(x) = mx² + nx.

maximalen Erlös bei einem Preis von 100 (Geldeinheiten). Bei diesem Preis beträgt die Nachfrage 20 Stück.

Der Scheitelpunkt von E(x) liegt bei x = 20.

Der Scheitelpunkt von mx² + nx liegt bei x = -n/(2m). Sag bescheid wenn du nicht weißt wie man den Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion bestimmt.

Also muss

(3)        20 = -n/(2m)

sein. Außerdem muss p(20) = 100 sein. Also gilt

(4)       100 = m·20 + n.

Löse das Gleichungssystem aus den Gleichungen (3) und (4). Setze in (1) und (2) ein.

Wie groß wäre der Erlös bei einem Preis von 160?

Löse die Gleichung

        160 = mx + n

mit den soeben bestimmten Werten für m und n um die Absatzmenge zu diesem Preis zu bestimmen. Setze das Ergbnis in die Erlösfunktion ein.

Comments

Danke für die ausführliche Erklärung! Und wie löse ich das Gleichungssystem dann in (3) und (4), da steh ich etwas auf der Leitung.

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Löse eine Gleichung des Gleichungssystems nach einer Variablen auf. Setze in alle anderen Gleichungen des Gleichungssystems ein. Wiederhole so lange noch Variablen vorhanden sind, deren Wert du nicht kennst.

Answer 2

Du kennst den Scheitelpunkt der Erlösfunktion S(20 | 20*100 = 2000) und du weißt, dass die Erlösfunktion durch den Ursprung geht.

E(x) = -2000/20^2 * (x - 20)^2 + 2000 = 200·x - 5·x^2 = x·(200 - 5·x)

p(x) = 200 - 5·x = 160 --> x = 8 ME

E(8) = 1280 GE

Comments

Vielen Dank!!