Ich habe eine Aufgabe die auf 3 unterteilt, jedoch basieren alle 3 Teilaufgaben aufeinander, deshalb wollte ich sie als eine Frage stellen und nicht getrennt.
Aufgabe:
$$\text{Seien die folgenden Matrizen in Mat(2;}\mathbb{C}) \text{ definiert als:} \\ 1:=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \text{ I}:= \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix}, \text{ J}:=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 &0 \end{pmatrix}, \text{ K}:=\begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0\end{pmatrix} \\[30pt] \text{ a) Berechnen Sie alle möglichen Matrixprodukte } X*Y: X,Y \in \{ \text{1,I,J,K}\} \\[20pt]\text{ b) Sei } H=\text{Span}(\{\text{1,I,J,K}\})= \{a1+bI+cJ+dK; a,b,c,d \in \mathbb{R} \} \text{ der reelle Span der vier Matrizen} \\\text{ Zu zeigen: } H=\{\begin{pmatrix} z & w \\ -\vec{w} & \vec{z} \end{pmatrix}; z,w \in \mathbb{C} \} \\[20pt]\text{ c) Zu zeigen, dass die Menge H abgeschlossen ist unter Matrixmultiplikation. }$$
Problem/Ansatz:
a) habe ich schon gelöst wenn ich die Aufgabenstellung richtig verstanden habe.
$$\text{ a)} \\ 1*I=I=I*1 \\ 1*J=J=J*1 \\1*K=K=K*1 \\1*1=1 \\I*J=K \neq K^{-1}=J*I \\I*K= J^{-1}\neq J=K*I \\J*K=I \neq I^{-1}=K*J \\[10pt] I*I=J*J=K*K=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$
b) Ich verstehe nicht was ich genau machen muss. Meine Überlegungen waren bisher folgende:
$$\text{ b)} \\ a1+bI+cJ+dK=0 \Longleftrightarrow a*\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}+b*\begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix}+c*\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 &0 \end{pmatrix}+d*\begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \\\Longleftrightarrow \\0^{1\times 1}= a + b*i \\0^{2\times 1}=-c+di \\0^{1\times 2}=c+di \\0^{2\times 2}=a-bi \\[20pt]\text{ Folgende Überlegung zur:} \\ \vec{w}= (x-yi) \land \vec{v}=(s-ti) \Longrightarrow H=\{\begin{pmatrix} z & w \\ (-x+yi) & (s-ti)\end{pmatrix}; z,w \in \mathbb{C} \}$$
Ich vermute ich soll irgendwie den Span aus H in die Menge H umformen. Ich habe jedoch Probleme zu nachvollziehen was genau der Span von H ist und was genau die Darstellung der Menge H mit den Komplexen Zahlen zu bedeuten hat. Auch bin ich nicht sicher ob meine Beweisidee korrekt ist.
c) Auch hier kann ich nicht leider nachvollziehen wie genau ich die Abgeschlossenheit der Menge H im Bezug der Matrixmultiplikation zeigen soll.
Bisherige Überlegung waren:
1) Abgeschlossenheit was { Rang der Spalte = Rang der Reihe} angeht
2) Argumentation, dass alle Matrizen der Menge H sowie deren Matrixprodukte dieselbe Determinante haben und daraus schlussfolgern wenn alle Elemente von H die det(1) haben so hat auch H= det(1)
3) Anhand der Matrixprodukte aus a) argumentieren, dass sie ''einen abgeschlossene Menge bilden'' da alle Matrixprodukte in einander rübergehen und:
$$\text{ Sei C:}=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \\I*C = I^{-1}=C*I \\J*C= J^{-1}= C*J \\K*C= K^{-1}= C*K \\1*C=C=C*1$$
Aber wie kann ich, dass als didaktische Mathematische Argumentation benutzen? (Hat C übrigens einen besonderen Namen, aufgrund der Fähigkeit oben?)
Kann mir jemand vielleicht bei der Erstellung des Beweises helfen?
