Surjektivität - Matrizen

Question

 

ich soll bestimmen für welche a ∈ ℝ die Matrix A = \( \begin{pmatrix} a & 4 & a \\ 0 & -2 & 4 \\ 2 & a & 6 \end{pmatrix} \) surjektiv ist. Sei f_A: ℝ³ -> ℝ³ die zugehörige Abbildung, d.h. f_A(x) = A*x. 

Kann mir jemand sagen, wie man dies macht? Wann ist eine Matrix surjektiv? 

Vielen Dank vorab!

Answer 1

surjektiv ist die Abbildung (nicht die Matrix), wenn alle Elemente

von R^3 als Bilder vorkommen.

Dazu müssen die Spalten der Matrix linear unabhängig sein,

bzw. der Kern der zugehörigen Abbildung nur

aus dem 0-Vektor bestehen.

Einfachstes Kriterium:   det(A) ungleich 0.

det(A) = -4a^2 + -8a + 32 = 0

<=>    a = 2 oder  a= -4 .

Für alle anderen Werte von a ist die Abb. surjektiv.

Comments

Das habe ich auch raus.

Was hast du denn bei der anderen Teilaufgabe raus, ich hab nämlich den selben Zettel wie du

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Vielen Dank für die Rückmeldung! Die Lösung wär nicht gleich notwendig gewesen aber vielen Dank dafür. 

Ich soll nun bestimmen für welche a v = \( \begin{pmatrix} 1\\3\\4 \end{pmatrix} \) im bild der Abbildung liegt. Rechne ich hier A * \( \begin{pmatrix} x1\\x2\\x3 \end{pmatrix} \), sodass ich a dann in Abhängigkeit von x erhalte? Oder wie geht man da vor?

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 v = \( \begin{pmatrix} 1\\3\\4 \end{pmatrix} \) im bild der Abbildung:

 Rechne hier A * \( \begin{pmatrix} x1\\x2\\x3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1\\3\\4 \end{pmatrix}\)

und prüfe, für welche a das lösbar ist .

Im Falle "surjektiv" ist nichts zu prüfen,

das muss es ja klappen.

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Vielen Dank für die schnelle Rückmeldung! 

Ich habe mal wie folgt angefangen: 

A * x = \( \begin{pmatrix} ax1+4x2+ax3\\-2x2+4x3\\2x1+ax2+6x3 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 1\\3\\4 \end{pmatrix} \)

Kann ich jetzt ax1+4x2+ax3 = 1 und 4 = 2x1+ax2+6x3 jeweils zu a auflösen oder ist das nicht der richtige Weg?

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Du musst schauen, für welche Werte von a das Gleichunbgssystem lösbar ist.

Also Gauss-Algorithmus anwenden

.

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Hallo mathef, ich kam inzwischen dazu mir das nochmal anzusehen und habe es mal nachgerechnet mit dem Gaus-Algorithmus. Allerdings frage ich mich ob das so richtig war und wie ich weiter mache. Theoretisch muss ich ja dann: 

(4+2a+16/a)*x3 = 4+10/a+3a/2 nach x3 auflösen, oder? Falls ja, wie geht das? 

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(4+2a+16/a)*x3 = 4+10/a+3a/2 nach x3 auflösen

geht nur, wenn 4+2a+16/a nicht 0 ist.

Allerdings war da bei der vorletzten Umformung was

falsch, es heißt   4+2a - 16/a  (also minus vor der 16!)

Und es ist 0 falls   4+2a-16/a  = 0

                              4a+2a^2 -16 = 0

                              2a+a^2 -8 = 0

mit pq-Formel a=2 oder a=-4.

Außerdem musst du noch a=0 prüfen; denn

du hast ja durch a dividiert, das geht nicht für a=0.

Also ist jedenfalls für alle a außer 0 , 2 und -4 die

Sache lösbar, und für diese 3 Fälle musst du n och

mal extra schauen.

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Hi, vielen Dank für die Rückmeldung! Also prinzipiell verstehe ich warum man das mit der PQ-Formel da macht und ich kann auch nachvollziehen, warum a=2 und a=-4 rauskommt. 

Aber irgendwie verstehe ich den Zusammenhang nicht und auch nicht so wirklich wie ich diese 3 Fälle noch prüfen soll. Soll ich dann einfach a = 0, a = 2 und a = -4 in die 3 Gleichungen einsetzen? Bei a = 0 geht es ja eigentlich bei keiner der Gleichungen, weil man immer durch 0 teilt. 

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nicht so wirklich wie ich diese 3 Fälle noch prüfen soll. Soll ich dann einfach a = 0, a = 2 und a = -4 in die 3 Gleichungen einsetzen?

Nein, du musst ganz zum Anfang zurück und in der Matrix für a die

Werte einsetzen. Du hast dann also 3 neue Matrizen zu untersuchen.

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Vielen Dank dafür! 

Dann verstehe ich das jetzt. Habe das ganze geprüft und nur bei a=0 kommt man durch auflösen auf den gewünschten Vektor \( \begin{pmatrix} 1\\3\\4 \end{pmatrix} \). Bei den beiden anderen Werten hat man immer 2 linear abhängige Zeilen, wo man 0en in der dritten Zeile hat und z nicht bestimmen kann. 

Dürfte so richtig sein, oder?

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Ist es nicht so, dass für a=2 in der letzten Zeile alles 0en

sind, dann heißt das doch 0*z=0

und das geht natürlich, und zwar für beliebiges z.

z.B.  x=3,5  und y=-1,5  und z=0 .

Im Fall a=2 ist die Abbildung zwar nicht surjektiv, aber der gegebene

Vektor ist in der Bildmenge.

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Macht Sinn, musste dann aber nicht auch a=-4 funktionieren?

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Nein, dann steht da sowas wie

                  0*z = c  und c ist nicht 0.

Dann geht es nicht.

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Hi, ich habe das ganze nun auch noch für den Wert a=0 ausgerechnet und komme da auch auf x,y und z. Dementsprechend kann ich nun sagen, dass die Matrix für alle Werte außer a = -4 surjektiv ist?

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Das passt wohl.

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Super, ich danke dir!

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Super, ich danke dir!