Aussagen zu Eigenwerten

Question

Aufgabe:

Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

(A) Eine reelle Dreiecksmatrix hat nur reelle Eigenwerte
(B) Jede (n,n)-Matrix besitzt genau n reelle Eigenwerte
(C) Eine (n,n)-Matrix ist diagonalisierbar, wenn sie mindestens n Eigenvektoren gibt
(D) Gegeben sei eine (3,3)-Matrix mit reellen Eigenwerten. Dann stehen die zu den jeweilegen EW gehörenden lin. unabh. Eigenvektoren senkrecht aufeinander.

Problem/Ansatz:

Ich würde folgendes vermuten

(A) ja, weil irrationale Zahlen hier nicht entstehen können
(B) nein, weil es höchstens n reelle Eigenwerte ergibt
(C) weiß ich nicht
(D) weiß ich nicht

Könntet ihr mir bei den Antworten helfen, am besten mit Begründung?

Comments

(A) ja, weil irrationale Zahlen hier nicht entstehen können

Irrationale Zahlen sind reell. Das ist keine Begründung.

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Bei (A) meinte ich natürlich die imaginären Zahlen. Sorry.
Ich habe inzwischen die Lösung erhalten. Hier nochmal für den Rest der Community:

(A) Wahr
(B) Falsch
(C) Falsch
(D) Wahr

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Warum sollte (D) so, wie oben formuliert, wahr sein?

Answer 1

Hallo Martin, deine Antwort für d ist falsch.  Es gibt 3x3 Matrizen mit reellen Eigenwerten, deren Eigenvektoren nicht senkrecht aufeinander stehen, z. B.
(1 0 0)
(0 2 1)
(0 0 3)