Vollständige Induktion Beweis

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Komme da nicht weiter.

Kann mir jemand dabei helfen.

(PS: Ich weiß,dass es etwas unsauber ist)

Danke

Ps: Kann jemand meine beiden anderen Beiträge löschen ?

Es wurden versehentlich 3 Beiträge erstellt,bedingt durch ein Netzproblem meinerseits.

Answer 1

Du hast ganz richtig gerechnet. Mache einfach weiter. Das Ziel ist es doch, dass dort am Ende $$\frac{n+1}{2}(3(n+1)-1)$$ steht - oder? Also: $$\frac{n(3n-1)}{2} + 3(n+1)-2 \\ \quad = \frac 12(3n^2 - n + 6n + 6 - 4) \\ \quad = \frac 12(3n^2+5n+2)$$ so an dieser Stelle kann man davon ausgehen, dass der Ausdruck \(3n^2+5n+2\) durch \((n+1)\) teilbar ist. Also führe mutig die Polynomdivision durch:$$(3n^2+5n+2) \div (n+1) = 3n +2$$na also - geht doch. Demnach ist $$\frac{n(3n-1)}{2} + 3(n+1)-2 \\ \quad = \frac 12(3n^2 - n + 6n + 6 - 4) \\ \quad = \frac 12(3n^2+5n+2)\\ \quad =\frac{n+1}2 (3n+2) \\ \quad = \frac{n+1}2 (3(n+1)-1) \quad \text{q.e.d.}$$ Gruß Werner

Answer 2

Die Summe bis n+1 ist ja die Summe bis n  plus den letzten Summanden.

Für die Summe bis n setzt du die Formel ein

n*(3n-1) / 2

und addierts den letzten Summanden dazu

n*(3n-1) / 2    +  (3(n+1) - 2)

Das kannst du zusammenrechnen zu

(3n^2 + 5n + 2) / 2   #

Und die Ergebnisformel für n+1 ist ja

(n+1)(3(n+1)-1) / 2  ,

das gibt ausgerechnet das gleiche wie #