Quadrat auf einer Sehne eines Kreises konstruieren

Question

Aufgabe:

Gegeben ist ein Kreis mit der Sehne AB durch den Mittelpunkt.

Konstruiere ein Quadrat PQRS, wobei PQ eine Teilstrecke von AB ist sowie R und S auf dem Kreis liegen.

Problem/Ansatz:

Da ich mir vorgenommen habe jetzt in den Ferien meine grauen Gehirnzellen zu trainieren, habe ich mehrere Aufgaben zu unserem aktuellen Thema Bruchgleichungen gelöst.Mein Problem ist nun, dass auf der nächsten Seite ein komplett neues Thema angefangen hat, ich dieses aber nicht komplett verstehe bzw. diese Aufgabe nicht!

Ich habe es schon mit einer zentrischen Streckung versucht, ohne Erfolg, da die Seiten nicht die selben Längen hatten.

Der Thaleskreis hat mir auch nicht geholfen, und einfach wild drauf los zu zeichnen hatts auch nicht gebracht...

Es wäre nett, wenn mir jemand zumindest ein Prinzip geben könnte um diese Aufgabe zu lösen!

Answer 1

Ich habe es schon mit einer zentrischen Streckung versucht, ohne Erfolg,

Die Idee ist aber richtig. Verwende die Punkte A und B, um ein Quadrat ABCD zu konstruieren. Dieses Quadrat muss nun durch eine zentrische Streckung so verkleinert werden, dass die zwei oberen Eckpunkte nicht mehr außerhalb des Kreises liegen.

Zeichne dazu die beiden Strahlen ein, die vom Kreismittelpunkt M aus durch C bzw. durch D verlaufen.

Die Schnittpunkte dieser beiden Strahlen mit dem Kreis sind R und S.

Answer 2

wenn abakus mit \(M\) den Mittelpunkt von \(AB\) meint, wäre seine Antwort richtig. Die Steigung der Geraden, die vom Mittelpunkt einer Seite eines Quadrats zu einer der gegenüberliegenden Ecken verläuft ist immer =2 bzw. =-2 gegenüber der Seite selbst .

 

Konstruiere also das Lot durch \(M\) den Mittelpunkt des Kreises auf \(AB\), das \(AB\) in \(M'\) schneidet, und eine Senkrechte (rot) zu \(AB\) durch \(A\), die den Kreis (grün) um \(A\) mit Radius \(|AB|\) in \(S'\) schneidet. Dann schneidet die Gerade durch \(M'\) und \(S'\) den Kreis in \(S\). Das Lot (gelb) durch \(S\) auf \(AB\) schneidet \(AB\) in \(P\). Die Spiegelung der Punkte \(P\) und \(S\)  an der Geraden durch \(M\) und \(M'\) sind die Punkte \(Q\) und \(R\).

Gruß Werner

Comments

"wenn abakus mit M den Mittelpunkt von AB meint, wäre seine Antwort richtig."

Was sollte ich denn sonst meinen?

Der Aufgabensteller spricht von "Kreis mit der Sehne AB durch den Mittelpunkt."

Eine durch den Kreismittelpunkt verlaufende Sehne wird im Volksmund auch "Durchmesser" genannt. Der Mittelpunkt dieser speziellen Sehne ist nach neuesten Forschungen auch Mittelpunkt des Kreises.

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Der Aufgabensteller spricht von "Kreis mit der Sehne AB durch den Mittelpunkt."

... dann ist Deine Antwort offensichtlich richtig.

Wobei ich es schade finde, dieses Problem auf den Durchmesser zu reduzieren.

Answer 3

Der Radius des Kreises sei r (gegeben). Die Quadratseite sei a. Dann muss (a/2)²+a²=r² sein. Also a=2r/√5. Eine Parallele im Abstand a vom AB schneidet den Kreis in R und S. Die Lote von R und S auf AB haben die Fußpunkte P und Q auf AB.