Flächenberechnung eines Kreisringes anhand der Länge der Sehne

Question

Gegeben sind zwei Kreisse mit dem selben Mittelpunkt M. Die Sehne s des großen Kreises ist gleichzeitig Tangente des kleinen Kreises.

Gesucht ist die Fläche des Kreisringes in Abhängigkeit der Länge der Sehne s.

 

Answer 1

Hi Mathecoach,

schöne Aufgabe!

Arbeite mit Dreiecken. Da der Mittelpunkt beider Kreise am gleichen Ort liegt, kannst Du ein gleichseitiges Dreieck einzeichnen, wobei das innere der Inkreis und das äußere der Umkreis ist. Das kann man dann mit Formel angeben.

 

Umkreisradius: r_u = √3/3*s

Inkreisradius: r_s = √3/6*s bzw. r_s = 1/2*r_u

 

Dann ist das Ausrechnen des Flächeninhalt des Kreisringes kein Problem, denke ich und spare ich mir (ganz der Mathematiker: nur das nötigste :D).

 

Grüße

Comments

Danke. Ich hatte eben in der Frage

https://www.mathelounge.de/101680/flacheninhalt-kreisring-berechnen

den Flächeninhalt allgemein ohne Herleitung gemacht und fand die Frage interessant, sodass ich sie mir aufheben wollte.

Ich selber habe den Flächeninhalt schon berechnet. Er ergibt sich zu

A = pi/4 * s^2

Ich fand das einen bemerkenswerten Zusammenhang.

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Hier meine Hereitung

Der große Kreis habe den Radius R und der kleine den Radius r. Dann gilt nach Pythagoras:

r^2 + (s/2)^2 = R^2

Für den Flächeninhalt des Kreisringes gilt:

A = pi·(R^2 - r^2)

Setzen wir hier mal das R^2 der oberen Gleichung ein:

A = pi·(r^2 + (s/2)^2 - r^2) = pi·(s/2)^2 = pi/4·s^2

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Wobei mir da gerade auffällt das du etwas daneben liegst. Stell dir den Inkreis mal kleiner vor. Es muss sich kein gleichseitiges Dreieck ergeben.

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Tatsächlich :(. Bei Inkreis dachte ich versehentlich daran, dass der Radius über das Lot bestimmt werden kann. Das geht aber nur beim gleichseitigen Dreieck, da das aufeinanderfällt, Winkelhalbierenden Schnittpunkt und Höhenschnittpunkt. Da habe ich mich bei meiner Zeichnung verführen lassen

Da ist man mit Pythagoras auf jeden Fall besser dran (bzw. "richtiger"/allgemeiner).