Ein Ball wird in 1,5 Meter Höhe abgeworfen und erreicht nach 20 Metern mit 8 Metern über dem Boden seinen höchsten Punkt

Question

Aufgabe:

Ein Ball, der von einem Jungen in 1,5 Meter Höhe abgeworfen wird, erreicht nach 20 Metern mit 8 Metern über dem Boden seinen höchsten Punkt.

a) Skizziere die Situation.

b) Bestimme die Gleichung der parabelförmigen Flugbahn des Balles.
Kontrollergebnis in der allgemeinen Form: \( f ( x ) = - \frac { 13 } { 800 } x ^ { 2 } + \frac { 13 } { 20 } x + \frac { 3 } { 2 } ) \)

c) Wie weit wirft der Junge den Ball?

d) Nach wie vielen Metern erreicht der Ball wieder die Abwurfhöhe?

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Vom Duplikat:

Titel: Wie lautet die Gleichung vom Wurf?

Stichworte: quadratische-funktionen

Ein Ball, der von einem Jungen in 1,5m Höhe abgeworfen wird, erreicht nach 20m mit 8m über dem Boden seinen höhsten Punkt. Bestimme die Gleichung.

y= -0,02 (x-20)² ±8 war meine Gleichung. Der Streckfaktor ist aber 0,01625. Der Scheitelpunkt ist bei 20 und 8 und die Nullstelle bei 40 und 0. Also ich habe die Nullstelle eingesetzt, dass ist aber anscheinend falsch ...

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@u21374: Du wurdest auf diese "Originalfrage" umgeleitet. Die Antwort von Roland stammt von heute und nimmt vermutlich deinen Ansatz auf.

Frag bei den vorhandenen Antworten nach, falls noch etwas unklar ist.

Answer 1

b)
das ist eine Steckbriefaufgabe.

Stell dir ein Koordinatensystem vor, wobei die x-Achse die Wurfweite des Balls ist und die y-Achse die Höhe angibt.

Wir wissen, zu Anfang ist der Ball 1.5m hoch -> \(f(0)=1.5\).

Außerdem wissen wir, dass nach 20 Metern er eine Höhe von 8 Metern erreicht hat -> \(f(20)=8\) , wobei dies auch ein Extremum ist, also -> \(f'(20)=0\)

Als Gleichungen ergeben sich somit für \(ax^2+bx+c\):

\(I: 0^2+0+c=1.5 \Rightarrow c=1.5 \\ II: 20a^2+20b=8-1.5 \\ III: 40a+20b=0\)

Somit hast du ein LGS mit 2 Unbekannten, dass du nach einem Verfahren deiner Wahl lösen darfst.

Am Ende setzt du die Werte für a, b und c ein, und kommst so auf die Gleichung des Balls \(f(x)\)

c)

Dich interessiert, wann der Ball wieder den Boden berührt (das Abprallen vom Boden wird vernachlässigt.):

\(f(x)=0 \rightarrow -\dfrac{13}{800}x^2 + 0.65x + 1.5=0\) (die Gleichung nach einem Verfahren deiner Wahl (pq-Formel, abc-Formel, etc.) lösen.

d)

Du setzt die Funktion gleich der Abwurfhöhe:

\(f(x)=1.5\)

Comments

Vielen Dank Larry.

Allerdings muss ich die Aufgabe ohne die Ableitung lösen. Irgendwie mit der Scheitelform und die anderen Formel, p-q, quadratische Ergänzung.

Außerdem verstehe ich nicht, warum f(20) = 8, denn es steht ja, dass "nach 20 Metern" die Höhe erreicht wird, also 20 Metern von der Stelle von wo der Ball abgeworfen wurde. Was ist mit den Metern, die im Minusbereich der X-Achse liegt?

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Wir definieren, dass die Flugbahn bei x=0 anfängt (der Ball kommt ja nicht in seine Hand geflogen). Sie kann natürlich auch bei -1 oder einem anderen beliebigen Wert anfangen, aber das würde die Sache nur unnötig erschweren. Strenggenommen müsste der Definitionsbereich aber eingegrenzt werden zu \(x \geq 0 \) bzw. \(D=\{x \in \mathbb{R}_0^+\}\)

Du kannst die Funktionsgleichung auch durch einen Punkt und den Scheitel aufstellen:

S(20|8) in die Scheitelpunktform einsetzen: \(f(x)=a(x-20)^2+8\)

Jetzt setzt du einen der zwei anderen gegebenen Punkte in diese Form ein (bevorzugt der mit \(f(0)=1.5\) , da hier das x entfällt):

\(1.5=a(0-20)^2+8 \Leftrightarrow 1.5=400a+8 \Rightarrow a=-\dfrac{13}{800}\)

Also weißt du, deine Funktionsgleichung lautet:
\(f(x)=-\dfrac{13}{800}(x-20)^2+8\)

Die kannst du dann natürlich noch in die allgemeine Form bringen.

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Vielen Dank. Aber dann ist die Angabe falsch, denn die allgemeine Funktion lautet dann

- (13 / 800) x² + (13 / 20) x + 8 und nicht + 3/2. OMG, wie schreibst du denn die Formeln hier rein?

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Wenn du die scheitelpunktsform von Larry richtig auflöst kommt die Funktion raus die in der Aufgabe steht mit 3/2 am Ende.

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@Dan, wieso, meine Formel stimmt doch? Du musst sie nur in die andere Form bringen.

Mit LaTeX

Answer 2

P(0 | 1.5) ; S(20 | 8)

b)

Öffnungsfaktor

a = Δy/(Δx)^2 = (1.5 - 8)/(0 - 20)^2 = -13/800

Scheitelpunktform

f(x) = a·(x - Sx)^2 + Sy = -13/800·(x - 20)^2 + 8

c) Nullstellen

f(x) = -13/800·(x - 20)^2 + 8 = 0 --> x = 42.19 m

d)

f(x) = -13/800·(x - 20)^2 + 8 = 1.5 --> x = 40 m

a)

~plot~ -13/800*(x-20)^2+8;{0|1.5};{20|8};[[-5|50|-5|35]] ~plot~

Comments

Wow, die Formel für den Öffnungsfaktor kannte ich nicht. Und auch Plotlux ist ein Hammer! Danke schön, und ein Frohes Weihnachtsfest allen hier!

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Die "Formel für den Öffnungsfaktor" ist nichts anderes als die scheitelpunktsform aufgelöst nach a.

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Die "Formel für den Öffnungsfaktor" ist in dieser Form falsch. Richtig wäre beispielsweise: $$a=\dfrac{y_1-y_s}{(x_1-x_s)^2}$$falls der Scheitel \(\left(x_s\vert y_s\right)\) und ein anderer Punkt \(\left(x_1\vert y_1\right)\) der Parabel bekannt sind. In der Tat entspricht diese Formel der nach \(a\) umgestellten Scheitelform. Die Richtung der Differenz im Zähler ist nicht beliebig.

Answer 3

P(0|1,5) in y=a(x-20)²+8 einsetzen.

                  1,5=400a+8 oder a=-13/800

Lösung y=-13/800(x-20)²+8.

Comments

Danke, dann habe ich den falschen Punkt eingesetzt. Ich dachte, dass die Nullstellen bei 0 und 40 liegen.