Wurzelgleichung. √(2·x^{2} - 5) = x^{2} - 2

Question

Aufgabe:

√(2x²-5 ) = x² - 2

Problem/Ansatz: Wie löse ich diese Aufgabe?

Danke euch schon einmal für eure Hilfe.

EDIT(Lu): Fehlende Klammern um den Radikanden ergänzt.

Comments

Hallo m!

Wann schaffst du es, sinnvolle Überschriften zu formulieren?

Und wann bekommt die Quadratfunktion ihren Argumentterm geklammert?

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Lu, was soll denn dieses Edit, der Frager hätte Klammern setzen müssen und er allein kann wissen, wo diese hingehören! Stell also bitte den ursprünglichen Zustand wieder her und warte ab, was moonlight256 zu dem bereits dargestellten Mangel sagt. Das ist schließlich nicht seine erste Frage mit ungenügender Klammerung.

Answer 1

 
Umkehrfunktion der Wurzel ist die Quadrierung. Also:

\(\sqrt{2x^2+5}=x^2-2 \Leftrightarrow 2x^2+5=(x^2-2)^2 \Leftrightarrow 2x^2+5=x^4 - 4 x^2 + 4 \Leftrightarrow -x^4+6x^2+1=0\)

Jetzt substituieren: \(z=x^2\)

\(-z^2+6z+1=0\) Jetzt mit pq-Formel / Mitternachtsformel, what ever lösen:

\(\rightarrow z_1=-\sqrt{10},\: z_2=3+\sqrt{10}\)

Durch Rücksubstitution erhalten wir:

\(x_1^2=3-\sqrt{10},\: x_2^2=-\sqrt{10}\)

Nun noch die Wurzel ziehen, also sind unsere Endergebnisse:

\(x_1=-\sqrt{3+\sqrt{10}} \\ x_2= \sqrt{3+\sqrt{10}}\\ x_3=-\sqrt{-\sqrt{10}+3} \\ x_4=\sqrt{-\sqrt{10}+3}\)

Wobei letztere beiden entfallen, da sie komplex sind und nur durch die Substitution "entstanden" sind.

Comments

Ich glaube du hattest bereits die Aufgabe verkehrt abgeschrieben.

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Ich sollte aufhören, mir bei non-LaTeX Termen überhaupt die Mühe zu machen.

Answer 2

√(2·x^2 - 5) = x^2 - 2

2·x^2 - 5 = x^4 - 4·x^2 + 4

x^4 - 6·x^2 + 9 = 0

z^2 - 6·z + 9 = 0

(z - 3)^2 = 0

z = 3

x = ±√3