Wurzelgleichung: √(x + 1) + √(2·x - 5) = 3 und Ungleichung: (x + 2) / (x - 3) < x / (x + 2)

Question

a) Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Wurzelgleichung

√(x + 1) + √(2·x - 5) = 3 

b) Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Ungleichung

(x + 2) / (x - 3) < x / (x + 2)

Comments

Bitte Klammern setzen bei den Wurzeln.

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Bitte Klammer die Aufgaben nochmal richtig. Ich denke da ist ein Fehler drin. Eventuell wie folgt?

a) √(x+1) + √(2x) - 5 = 3

b) (x + 2) / (x - 3) < x / (x + 2)

Answer 1

a)

√(x + 1) + √(2·x - 5) = 3
(x + 1) + 2*√(x + 1)*√(2·x - 5) + (2·x - 5) = 9
2·√(x + 1)·√(2·x - 5) + 3·x - 4 = 9
2·√(x + 1)·√(2·x - 5) = 13 - 3·x
4·(x + 1)·(2·x - 5) = 9·x^2 - 78·x + 169
8·x^2 - 12·x - 20 = 9·x^2 - 78·x + 169
x^2 - 66·x + 189 = 0
x1 = 3 und x2 = 63

√(3 + 1) + √(2·3 - 5) = 3
2 + 1 = 3 --> stimmt

√(63 + 1) + √(2·63 - 5) = 3
8 + 11 = 3 --> das stimmt nicht

Lösung ist hier also nur x = 3

Comments

(x + 2) / (x - 3) = x / (x + 2) 

Polstellen befinden sich hier bei -2 und 3

(x + 2) * (x + 2) = x * (x - 3)

x^2 + 4·x + 4 = x^2 - 3·x

7·x + 4 = 0

x = -4/7

Ich muss also die Gleichung in den Grenzen prüfen. Dazu setze ich einen Wert aus dem Intervall ein

(x + 2) / (x - 3) < x / (x + 2) 

]-∞, -2[ --> (-3 + 2)/(-3 - 3) < (-3)/(-3 + 2) --> ok

]-2, -4/7[ --> (-1 + 2)/(-1 - 3) < (-1)/(-1 + 2) --> nicht ok

]-4/7, 3[ --> (1 + 2)/(1 - 3) < 1/(1 + 2) --> ok

]3, ∞[ --> (4 + 2)/(4 - 3) < 4/(4 + 2) --> nicht ok

Damit erfüllen folgende Bereiche die Gleichung: x < -2 oder -4/7 < x < 3

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Die Rechnung zu a) kann man sich sparen. Die Lösung 3 kann man schnell erraten (auch systematisch: Kann man links eine Summe der Form 0+3, 1+2, 2+1, 3+0 erhalten?) und wegen der strengen Monotonie der linken Seite in x ist diese eindeutig.

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@Che: Ich finde, Mathecoach macht das hier super. Ob es nun einen kürzeren Weg gibt, naja, ich finde den "längeren" besser, wenn ich es dann auch verstehen und verinnerlichen kann =)

PS: Warum beantwortest du keine Fragen?

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Ich sage auch nur, dass es kürzer geht, und wollte niemanden kritisieren.
Und gerade hier sollte man den kurzen Weg kennen, da er eine schöne Alternative zum stumpfsinnigen Drauflosrechnen darstellt. Es wäre doch schade, wenn man nur streng nach Algorithmen vorgeht und den Blick für kürze Lösungen und die Kreativität verliert.

Und wieso sollte ich Fragen beantworten; Mathecoach macht das hier doch super ;)
Wenn hier Fragen auftauchen, die ich interessant finde, antworte ich auch gerne – ansonsten halte ich halt nur nach falschen oder umständlichen Antworten Ausschau.
Insbesondere da mir diese ganzen Punkte und Auszeichnungen und Bezeichnungen wie "beste Mitglieder" nicht behagen. Ebenso die Formeleingabe.

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Es mag sein das man für

x^2 - 1 = 24

eine offensichtliche Lösung sieht. Aber die Beispiele aus Schule und Studium sind ja meist extra einfach gewählte Sachen um die Gesetzte der Algebra zu studieren. Damit man sie eventuell auch dann anwenden kann, wenn man nicht eine Lösung  von ± 5 leicht erraten kann.

Man kann natürlich sagen wozu lernt man das Lösen von Wurzelgleichungen überhaupt. Jeder etwas bessere Taschenrechner ermittelt im Bruchteil einer Sekunde eine Lösung mit hinreichender Genauigkeit durch einsetzen vieler Werte eine Lösung. Und Wolframalpha löst sogar algebraisch viele noch kompliziertere Gleichungen.
Wozu muss man in der Finanzmathematik in blöden Prüfungen komplizierte Gleichungen auflösen wenn es viel schneller ist eine einfache Numerische Lösung zu finden.

Es fängt bereits in der Grundschule an wenn es um Tauschaufgaben geht, dass man ein Verständniß für die Mathematik entwickelt. Und dazu gehörte es auch das man aus

___ / 3 = 27

einfach die Tauschaufgabe macht.

27 * 3 = ___

Natürlich kann man sagen das es Blödsinn ist solche Tauschaufgaben zu lernen. Notfalls probiere ich halt mal ein paar Zahlen aus.

30 / 3 = 10 ok zu klein
60 / 3 = 20 auch noch zu klein
90 / 3 = 30 schon zu groß
81 / 3 = 27 ok das passt.

Das Sinn an einfachen gemachten Aufgaben ist nicht unbedingt der, dass man leicht Lösungen erraten kann, sondern das man an einfachen Beispielen die Regeln der Mathematik üben kann.

Ich weiß nicht ob es was bringen würde wenn ich ankomme

√(x + 1) + √(2·x - 5) = 3

Wir wissen das eine Wurzel immer ein positiver Wert ist. Da ich die Summe zweier positiver werte habe die zusammen 3 sind muss jeder Einzelne Wert unter 3 sein. Damit dürfte theoretisch ein Term unter der Wurzel nur maximal 9 werden. Außerdem sollte nichts negatives unter der Wurzel stehen. Das grenzt den Bereich für x auf 2.5 bis 7 ein

Also würde ich gleich mal die erste ganze Zahl von 3 probieren

√(3 + 1) + √(3·x - 5) = 3

Oh das passt zufällig. Lösung gefunden. Arbeit kann ich mir schenken.

Dann hat man zwar eine Lösung für das Problem gefunden. Aber das eigentliche an der Aufgabe, die Mathematik zu trainieren wurde damit nicht erfüllt.

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Wirklich sehr schön ausgeführt. Die Technik des Erratens findet schnell ihre Grenzen. Und richtig, einfache Beispiele sind dafür da, um die Regeln der Mathematik kennenzulernen und darauf aufbauend auszuweiten.

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Gerade die kurze Version ist mehr im Sinne der Mathematik. Was du als Mathematik bezeichnest, ist Rechnen.
Wenn man oft genug die p-q-Formel benutzen muss und nie lernt, auch nach kürzeren Lösungen Ausschau zu halten, wird man irgendwann auch x² = 0 mit der p-q-Formel lösen wollen.

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"Die Technik des Erratens findet schnell ihre Grenzen."

Mag sein, aber solange sie problemlos funktioniert, sollte sie benutzt werden.
Sucht man Nullstellen von Polynomen, kommt man oft auch nicht drumherum; ebenso ist Raten eine der wichtigsten Lösungsmethoden für Differentialgleichungen.

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Ich glaube, wir können uns darauf verständigen, dass es nicht nur einen Weg zur Lösung gibt und das ist ja auch das Schöne an der Mathematik :)