Allgemeine Lösung dieser Matrix gesucht - ist meine Schreibweise für die allgemeine Lösungsmenge richtig ?

Question

Aufgabe:

Geben sie die allgemeine Lösung dieser Matrix an:

\( \begin{pmatrix} 1 & 3 & 6 & 2 & |1 \\ 0 & 1 & 5 & 2& |6 \\ 0 & 0 & 0 & 1&  |-1 \\ 0 & 0 & 0 & 0& |0 \\ \end{pmatrix} \) 

Nach Gauss: 

\( \begin{pmatrix} 1 & 0 & -9 & 0 & |-21 \\ 0 & 1 & 5 & 0 & |+8 \\ 0 & 0 & 0 & 1&  |-1  \\ \end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz:

Ich habe zuerst die Matrix nach Gauss von unten nach oben aufgelöst, dann x3 als freie Variable (weil es keine Pivotspalte ist) fixiert und alles in Abhängigkeit von x3 ausgedrückt. 
Danach habe ich den (Lösungs)-Vektor auseinandergezogen, indem ich zuerst die konstanten in einen separaten Vektor geschrieben habe, dann hatte ich in dem andern Vektor nur noch die Einträge drin, die von x3 abhängen und dann habe ich die x3 aus eben diesem Vektor  rausmultipliziert.

Ich bin mir aber unsicher ob das unten stimmt weil ich die Aufgabe online gefunden habe und bei der Onlineaufgabe ist die Lösung lediglich das Gleichungssystem, ohne Mengenschreibweise und so viel ich weiss ist die Lösungsmenge nicht als Gleichungssystem aufzuschreiben. 



Allgemeine Lösung so geschrieben von mir:

L = { \( \begin{pmatrix} -21\\8\\0\\-1 \end{pmatrix} \)  + x3*\( \begin{pmatrix} 9\\-5\\1\\0 \end{pmatrix} \) | x3 ∈ ℝ }

Answer 1

Allgemeine Lösung so geschrieben von mir:

Die Schreibweise ist korrekt.

so viel ich weiss ist die Lösungsmenge nicht als Gleichungssystem aufzuschreiben. 

Das ist nicht korrekt.

Durch Einsetzen in das Gleichungssystem kann leicht überprüft werden, ob ein Kandidat eine Lösung ist oder nicht. Bei Aufgaben, in denen die Lösungsmenge bestimmt werden soll, wird also üblicherweise mehr verlangt als

"Die Lösungsmenge ist die Menge aller \( \begin{pmatrix} v_1\\v_2\\v_3\\v_4 \end{pmatrix} \), für die

        \(\begin{aligned}1v_1 + 3v_2 + 6v_3 + 2v_4 &= 1\\0v_1 + 1v_2 + 5v_3 + 2v_4 &= 6\\0v_1 + 0v_2 + 0v_3 + 1v_4 &= -1\\0v_1 + 0v_2 + 0v_3 + 0v_4 &= 0\end{aligned}\)

gilt."

Mathematisch ist das natürlich korrekt. Was aber fehlt ist eine Möglichkeit, Lösungen zu erzeugen. Diese Möglichkeit bietet laut deiner Rechnung

"Die Lösungsmenge ist die Menge aller \( \begin{pmatrix} v_1\\v_2\\v_3\\v_4 \end{pmatrix} \), für die es ein \(x_3\) gibt, so dass

        \(\begin{aligned}v_1 &= -21 + 9x_3\\v_2 &= 8 - 5x_3\\v_3 &= x_3\\v_4 &= -1\end{aligned}\)

gilt."

Es kommt nicht so sehr auf die Schreibweise an, sondern auf die Möglichkeit, auf einfache Weise konkrete Lösungen zu erzeugen.

Answer 2

Eine mögliche Beschreibung der geforderten Lösung durch die Angabe der Lösungsmenge ist diese hier: $$L = \left\{ \overrightarrow{x}\in\mathbb{R}^4:\quad \overrightarrow{x}=\begin{pmatrix} -21\\8\\0\\-1 \end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix} 9\\-5\\1\\0 \end{pmatrix},\: k\in\mathbb{R} \right\}$$Folgende Aspekte möchte ich dabei betonen:

(1) Mit der Angabe \( \overrightarrow{x}\in\mathbb{R}^4\) ist auch die Definitionsmenge notiert.

(2) Durch \(\overrightarrow{x}=\dots\) werden die Lösungen als Parametergleichung beschrieben, ein Weg für Einsetzproben ist damit vorgezeichnet.

(3) Der Parametername "\(k\)" ist willkürlich aber so gewählt , dass es keine Namenskonflikte mit den üblichen Bezeichnungen der Vektorkomponenten gibt. Zu vorgegebenem \(k\) kann leicht die entsprechende Lösung berechnet werden.

(4) Die Darstellung ist also kurz, übersichtlich und praktisch, aber dennoch informativ.

(5) Statt der verwendeten Parametergleichung könnte man auch eine Normalengleichung oder eine Koordinatengleichung verwenden.