Tief und Hochpunkt berechnen allgemeiner Sinnesfunktion

Question

Aufgabe:

Ich möchte alle Hoch - und Tiefpunkte der folgenden Funktion bestimmen, anhand einer allgemeinen Formel, sodass ich nur anhand der vielfachen alle bestimmen kann.

y = 2 sin ( \( \frac{1}{2} \)x+\( \frac{1}{2} \)π)

Problem/Ansatz:

f´(x) = cos ( \( \frac{1}{2} \)x + \( \frac{1}{2} \)π)

\( \frac{1}{2} \)x +\( \frac{1}{2} \) π = \( \frac{2k+1}{2} \) • π

 x = ((\( \frac{2k+1}{2} \)  •π ) -\( \frac{1}{2} \)π )•2

hiermit kann ich ja, die Extremstellen herausfinden, und dann müsste ich die in 2. Ableitung hinzufügen und sehe dann ob es ein Hochpunkt oder Tiefpunkt ist.

Allerdings will ich es nicht immer einsetzen, kann man es irgendwie einfacher machen? irgendwie eine Gleichung herleiten indem man nur für k was einsetzt und somit hochpunkt und tiefstelle jeweilig bekommt.

Answer 1

Hochpunkte

y = 2·SIN(1/2·x + 1/2·pi) = 2

Tiefpunkte

y = 2·SIN(1/2·x + 1/2·pi) = -2

Das Auflösen ist recht einfach denke ich.

Comments

kann man das ohne sowas machen, also ich will es so haben dass ich für k was einsetzen will und somit den Hochpunkt bekomme

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Das bekommst du doch wenn du auflöst

2·SIN(1/2·x + 1/2·pi) = 2

SIN(1/2·x + 1/2·pi) = 1

1/2·x + 1/2·pi = 1/2·pi + k·2·pi

x + pi = pi + k·4·pi

x = k·4·pi

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ahh, darf ich das so gleichsetzen, nachdem gleich zeichen kommt doch 1. Was ist mit der???

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Die rechte Seite ergibt sich aus dem ARCSIN(1). Also an welchen Stellen nimmt die Sinusfunktion der Funktionswert 1 an. Das sollte man eigentlich auswendig wissen. Notfalls hilft der Taschenrechner mit der ersten Lösung.

SIN(1/2·x + 1/2·pi) = 1

1/2·x + 1/2·pi = ARCSIN(1)

1/2·x + 1/2·pi = 1/2·pi + k·2·pi

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und 2 k * pi kommt wo her? ich dachte es wäre (4k +1)/2 * π.

gilt das 2*k *pi auch für den Tiefpunkt?

sin ( 0,5x + 0,5pi) = -1

-0,5x+0,5pi = -0,5 pi +2*pi*k ???

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k·2·pi ist ein k faches der Periodenlänge der Sinusfunktion. Du weißt das die Hochpunkte sich im Abstand von jeweils 2·pi wiederholen.

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stimmt, dankeschön für Ihre Hilfe