Bestimmen sie rechnerisch Hoch,Tief- bzw Sattelpunkte des Graphen von \(f(x)=\frac{1}{4}x^4-\frac{2}{3}x^3-\frac{3}{2}x^2\)
\(f'(x)=x^3-2x^2-3x\)
\(x(x^2-2x-3)=0\) Satz vom Nullprodukt
\(x_1=0\) \(f(0)=0\)
\(x^2-2x-3=0\)
\(x^2-2x=3\)
\(x^2-2x+1=3+1=4\)
\((x-1)^2=4 | \pm\sqrt{~~}\)
1.)
\(x-1=2 \)
\(x_2=3 \) \(f(3)=\frac{1}{4}\cdot 81-\frac{2}{3}\cdot 27-\frac{3}{2}\cdot 9=-\frac{45}{4}\)
2.)
\(x-1=-2 \)
\(x_3=-1\) \(f(-1)=\frac{1}{4} \cdot (-1)^4-\frac{2}{3} \cdot (-1)^3-\frac{3}{2}\cdot (-1)^2=-\frac{7}{12}\)
Art der gefundenen Werte:
\(f''(x)=3x^2-4x-3\)
\(f''(0)=-3<0\) Maximum
\(f''(3)=27-12-3=12>0\) Minimum
\(f''(-1)=3+4-3=4>0\) Minimum
