Hoch-/Tief- bzw. Sattelpunkte bestimmen: f (x)=x^3-3x

Question

Hallo :) Also ich muss Hoch Tief bzw. Sattelpunkte bestimmen. Ich habe bereits Teilaufgaben gerechnet und verstanden die folgenden machen mir jedoch Probleme:

1. f (x)=x^3-3x hier habe ich bereits einen Tiefpunkt jedoch gibt es x1 und x2 was ich nicht verstehe.

2.f (x)=3x^3

3.f (x) = 1/4x^4-2/3x^3-3/2x^2

4.f (x)=(x^2-1)^2

Answer 1

1. f (x)=x³-3x

f'(x) = 3·x^2 - 3 = 0
x = -1 ∨ x = 1

f(-1) = 2 --> Hochpunkt
f(1) = -2 --> Tiefpunkt

 

2. f(x)=3x³ 

x^3 hat einen Sattelpunkt im Koordinatenursprung. Das ist hier genauso.

 

3.f (x) = 1/4·x^4 - 2/3·x^3 - 3/2·x^2

f'(x) = x^3 - 2·x^2 - 3·x = x·(x^2 - 2·x - 3) = 0

x = 3 ∨ x = -1 ∨ x = 0

f(-1) = - 7/12 --> Tierfpunkt
f(0) = 0 --> Hochpunkt
f(3) = - 45/4 --> Tierfpunkt

 

4. f(x) = (x²-1)²

f'(x) = 4·x·(x^2 - 1) = 0

x = -1 ∨ x = 1 ∨ x = 0

f(-1) = 0 --> Tiefpunkt
f(0) = 1 --> Hochpunkt
f(1) = 0 --> Tiefpunkt

Comments

Danke erst einmal! Mir sind die Rechnungen jedoch nicht ganz klar, da wir die Rechnungen immer mit der notwendigen und der hinreichenden Bedingung gemacht haben. Bei dem ersten Beispiel habe ich auch 1 und -1 raus. Setze ich 0.9 und 1.1 in f' ein bekomme ich -0.57 und 0.63 raus. Da ein VZW von - zu + stattfindet, ist dies ein Tiefpunkt. Muss ich diese Rechnung jetzt auch für -1 machen? danke!

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bitte setzen Sie noch die Ableitungsstriche in der drittletzten und letzten Zeile, in der vorletzten Zeile soll es = 0 heißen.

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Theoretisch musst du es auch für -1 machen.

Hier noch wie ich vorgehe. Bei einer Funktion 3. Grades erwarte ich 2 Extrempunkte oder einen Sattelpunkt.

Da ich 2 Werte für x raus habe haben wir also einen Tief und einen Hochpunkt. Das mit der kleineren y-Koordinate muss zwangsweise der Tiefpunkt sein.

Leider wird das in der Schule nie gelehrt und so auf die hinreichende Bedingung bestanden.

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SORRY @ Mathecoach,

sehe jetzt erst, dass Ihre letzten Zeilen sich auf Nummer 4 beziehen, d.h. meine Antwort von vor 19 min ist ü wie überflüssig :-))))

Answer 2

zu 1.

 

y= x³-3x  ist punktsymmetrisch zum Ursprung, da ungerade Funktion. Diese Funktion dritten Grades hat maximal drei Nullstellen (ergibt sich aus der höchsten Potenz), hier sind es genau 3.

Es gibt einen Hoch- und einen Tiefpunkt, nämlich P_H(-1;2) und P_T(1; -2) sowie einen Wendepunkt P_W(0;0), der auch Sattelpunkt ist.

 

Rechnerisch durch die 1. Ableitung zu bestimmen und durch die 2. nachzuweisen. Den Funktionswert erhält man durch Einsetzen in die Funktionsgleichung.

Für einen Sattelpunkt gilt: f'(x_s) = f''(x_s) = 0 sowie f'''(x_s) ≠ 0.

Nun zur Berechnung:

f(x) = x³ -3x                     x³ -3x =0 ⇔ x(x²-3) = 0 ⇒ x₁ = 0 und x₂ = +√3 und x₃ = - √3 sind Nullstellen

f'(x) = 3x² - 3 soll Null sein, also f'(x) = 3x² -3 = 0 ⇔ x² = 1 ⇔ x_E1 = +1 und x_E2 = -1 ⇒ P_H und P_T

f''(x) = 6x soll Null sein, also f''(x) = 6x =0 ⇒ x_{mögliche Sattelstelle} = 0, da f'''(x) ≠ 0, handelt es sich um eine Sattelstelle

f'''(x) = 6 ≠ 0

Comments

VEHLER!

Die notwendige Bedingung für einen Sattelpunkt trifft nicht ganz zu, denn f'(x_s= 0) ist ≠ 0!

Somit ist der Punkt P_w (0;0) nur Wendepunkt