Wie berechne ich die fehlende Funktionsgleichung (3. Grades)?

Question

ich habe folgende Wertetabelle erstellt:

f(-4)=-16

f(-3)=-6,75

f(-2)=-2

f(-1)=-0,25

f(0)=0

f(1)=0,25

f(2)=2

f(3)=6,75

f(4)=16

Ich habe nun den Graphen gezeichnet und erkannt, dass es sich um eine Funktion 3. Grades handelt, also die Funktionsgleichung:

y=ax^3+bx^2+cx+d

gilt.

Ich habe die Funktionsgleichungen für die Punkte f(-4)=-16; f(-2)=-2; f(0)=0 und f(2)=2 erstellt:

f(-4)=-16=a(-4)^3+b(-4)^2+cx+d=-64a+16b-4c+d

f(-2)=-2=a(-2)^3+b(-2)^2+cx+d=-8a+4b-2c+d

f(0)=0=a0^3+b0^2+c0+d=0+0+0+d=d

f(2)=2=a2^3+b2^2+c2+d

Für d komme ich also durch f(0) auf 0 (d=0). Nun zu meiner Frage: Wie komme ich auf die restlichen Parameter? Ich weiß wie ich bei Funktionen der Form y=ax^2^+bx+c den Wert der Parameter herausfinde, bei dieser Funktionsgleichung (3. Grades) habe ich aber keine Ahnung, kann mir wer helfen? Ich habe schon viel gegoogelt, Ableitungen hatte ich noch nicht, ich habe das erst im nächsten Halbjahr.

Ich danke euch im Voraus :)

MfG

Answer 1

du weißt d=0.

Dann die anderen drei Funktionsgleichungen evaluieren, wie bereits von dir getan:

\(I: -64a+16b-4c=-16 \\ II: -8a+4b-2c=-2 \\ III: 8a+4b+2c=2\)

Und mit z.B. dem Gaußverfahren/G.-Jordan/G.-Bareiss lösen. Du siehst allerdings schon, dass bei der 2. und der 3. Gleichung die Vorzeichen umgedreht sind, bzw. du in deiner Wertetabelle bei umgedrehtem x-Wert den selben y-Wert mit Vorzeichenwechsel erhältst. Also liegt eine Punktsymmetrie zum Ursprung vor, weswegen in der gesuchten Funktionsgleichung keine Konstante + geraden x-Potenzen vorkommen dürfen. Also wissen wir dadurch b=0. Somit kannst du das LGS auch mit Additions-/Einsetzungs.../verfahren lösen, da du nur noch 2 Unbekannte hast.

\(\rightarrow a=-\dfrac{1}{4}, \: b=0, \: c=0, \: d=0 \Rightarrow f(x)=-\dfrac{1}{4}x^3\)