Bestimmen eine Basis Lineare Algebra

Question

Aufgabe:

M := {(x₁, x₂, x₃) ∈ ℝ³  : 3x₁ + x₂− x₃ = 0}

Frohes Neues! Ich habe Probleme mit dem ersten Schritt der Lösung nachzuvollziehen. Dort steht:

x = \( \begin{pmatrix} x₁\\x₂\\x₃ \end{pmatrix} \) =  \( \begin{pmatrix} x₁\\x₂\\3x₁+x₂ \end{pmatrix} \)

Woher kommt dieser Ansatz? Ich hätte jetzt das hier geschrieben:

x = \( \begin{pmatrix} x₁\\x₂\\x₃ \end{pmatrix} \) =  \( \begin{pmatrix} 3x₁\\x₂\\− x₃ \end{pmatrix} \)

Answer 1

Hallo Nanotooth,

die Angabe \(\dots 3x_1 +x_2 - x_3 = 0\) ist eine Bedingung, die eine Abhängigkeit der drei Koordinaten untereinander beschreibt. Damit wird die Menge aller Punkte \((x_1,x_2,x_3)\) im \(\mathbb{R}^3\) auf eine Ebene reduziert. Das kann man natürlich in der Normalform angeben $$\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \cdot \vec{x} = 0$$ aber wenn Du schreibst $$\begin{pmatrix} x₁\\x₂\\x₃ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3x₁\\x₂\\− x₃ \end{pmatrix}$$ das würde ja bedeuten, dass \(x_1=3x_1\) und \(x_3=-x_3\) ist. Was nur korrekt wäre, wenn \(x_1\) und \(x_3=0\) sind. Das ist hier aber nicht der Fall.

Woher kommt dieser Ansatz?

Der Ansatz kommt daher, dass man jede der drei Koordinaten mit Hilfe der anderen beiden ausdrücken kann. Aus \(3x_1+x_2-x_3=0\) wird $$x_3 = 3x_1 + x_2$$

Frag' ruhig nochmal nach, wenn was nicht klar ist.

Gruß Werner

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