Was ist F für eines lineare Abbildung?
Mach dir klar, dass Darstellungsmatrizen von Endomorphismen bzgl. einer Basis immer ähnlich zueinander sind:
$$ M_A^A(f) = (T_B^A)^{-1} M_B^B (f) T_B^A $$
Jetzt sind aber Y und Z nicht ähnlich zueinander (es sind unterschiedliche Jordan-Normalformen, bzw. sie haben sogar unterschiedliche Eigenwerte).
Du wirst also tatsächlich nur für höchstens eine der beiden Matrizen eine solche Basis finden.
Nachtrag:
F(v1) = v1 und F(v2) = -v2
Die Abbildung hat Eigenwerte 1 und -1, somit passt keine der beiden Matrizen.