Basis finden, lineare Algebra

Question

Aufgabe:

Untersuche, ob eine Basis A existiert mit M_A^A (F) = Y bzw. M_A^A (F) = Z mit

Y = $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

Z = $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

existiert.

Problem/Ansatz:

Ich finde keine passende Basis A für die Gleichung M_A^A (F) = Z. Existiert dann gar keine, oder übersehe ich etwas?

Sofern A=Y gelten kann hätte ich für die Gleichung M_A^A (F) = Y folgende Basis A =((1,0)^T, (0,0)^T). Stimmt diese?

Comments

Sofern A=Y gelten kann

Kann es nicht.

A ist eine Menge von Vektoren. Insbesondere ist A keine Matrix.

Y ist eine Matrix. Insbesondere ist Y keine Menge von Vektoren.

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F(v₁) = v₁ und F(v₂) = -v₂

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Ich meinte mit A = Y das es ähnlich aussieht also, A = $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ und Y = ((1,0)^T, (0,0)^T)

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Sind die Kommentare bereits eine Reaktion auf die Antwort von EmNero?

Answer 1

Was ist F für eines lineare Abbildung?

Mach dir klar, dass Darstellungsmatrizen von Endomorphismen bzgl. einer Basis immer ähnlich zueinander sind:

$$M_A^A(f) = (T_B^A)^{-1} M_B^B (f) T_B^A$$

Jetzt sind aber Y und Z nicht ähnlich zueinander (es sind unterschiedliche Jordan-Normalformen, bzw. sie haben sogar unterschiedliche Eigenwerte).

Du wirst also tatsächlich nur für höchstens eine der beiden Matrizen eine solche Basis finden.

Nachtrag:

F(v1) = v1 und F(v2) = -v2

Die Abbildung hat Eigenwerte 1 und -1, somit passt keine der beiden Matrizen.