Ist meine mathematische Notation für Wurzeln korrekt?

Question

Aufgabe:

Ich möchte eine allgemeine mathematische Notation für Wurzeln schreiben.

Problem/Ansatz:

Meine Notation sieht jetzt so aus:

√a = {x ∧ - x | x∈ℝ}

Soll heißen, die Quadratwurzel von a ist x und negativ x, wobei x Element der Reellen Zahlen ist.

Würde das so reichen oder müsste man es anders schreiben?

Comments

Habe die wichtigen Kommentar auseinandergenommen und daraus Antworten gemacht, damit korrekte Antworten als "Antworten" da stehen.

Die Verfasser der Antworten dürfen gern ihre Antworten im Kommentare zu ihrer eigenen "besten" Antworten umwandeln.

Answer 1

Die Gleichung

$$ x^2  = a $$

hat im Fall \( a>0 \) zwar zwei reelle Lösungen, aber eine Definition wie

$$ \sqrt{a} := \lbrace x\in\mathbb{R} ~|~ x^2 = a \rbrace $$

würde uns kein Stück weiterbringen. Dann wäre die Wurzel ja eine Menge, keine Zahl, wir hätten keine Eindeutigkeit mehr.

Es wäre nicht möglich eine Wurzelfunktion zu definieren:

$$ \sqrt\cdot : \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}, x \mapsto \sqrt{x} $$

Oder ohne weitere Definitionen mit der Wurzel zu rechnen. Was ist z.B. für \( a \in \mathbb{R}, b \in\mathbb{R}_+\)

$$ a +\sqrt{b}$$

Hier stünde dann "reelle Zahl + Menge". Es ist einfach viel bequemer, wenn man die Wurzel als eine eindeutige Zahl definiert.

Nämlich für \( a \in \mathbb{R}_+\) als

$$ \sqrt{a} := \max\lbrace x\in\mathbb{R} ~|~ x^2 = a \rbrace$$

Jetzt kann man natürlich sagen: "ja aber dann erhalte ich bei quadratisch Gleichungen durch radizieren doch gar nicht alle Lösungen!" Und liegt dann falsch.

Per Definition der Wurzel gilt nämlich für \( x \in \mathbb{R} \):

$$ \sqrt{x^2} = |x|$$

Denn die Wurzel ist immer positiv. Und alle Probleme sind gelöst:

$$ x^2 = 4 \Leftrightarrow |x| = \sqrt{x^2}=\sqrt{4}=2 $$

Diese Betragsgleichung hat zwei Lösungen: -2, 2.

Um die Antwort zusammenzufassen: das ist einfach wegen einer sinnvollen Konvention so!

Answer 2

Die Wurzel von a ist definiert als die nicht-negative reelle Zahl √a mit (√a)²=a. Z.B. √4=2 aber √4≠-2. Was willst du also mit deiner Notation erreichen?

Comments

Weil das Ergebnis einer Wurzel immer ein Paar ist und zwar einmal postiv und negativ.

√4=2 ∧ √4=-2.

Warum wird sie also als die nicht-negative reelle Zahl definiert?

Das Ergebnis ist Beides.

Answer 3

    Wie würde die Definition aussehen?

eine berechtigte Frage!

Ich versuche mich mal: $$x=\sqrt a : x\cdot x=a, (x,a) \in \mathbb{R}, x \ge 0$$ oder gleich $$x=\sqrt a : x\cdot x=a, (x,a) \in \mathbb{C}$$ ... wie ist das eigentlich mit der zweiten Lösungen bei komplexen Zahlen?

Answer 4

Weil das Ergebnis einer Wurzel immer ein Paar ist ...

Unterscheide zwischen den beiden Lösungen (in \(\mathbb{R}\)) dieser Gleichung$$x^2 = 4$$ und der Funktion (!)$$f(x) = \sqrt{x}$$Die Funktion liefert (per Definition!) immer einen positiven Wert und nicht zwei Werte, weil sonst wäre es gar keine Funktion. Eine Funktion muss für ein \(x\) genau einen oder keinen Wert liefern.

Somit ist:$$\sqrt{4} = 2, \quad \sqrt{4} \ne -2$$aber die Lösungen (Mehrzahl) der obigen Gleichung sind$$x^2 = 4 \implies x_{1,2} = \pm \sqrt{4} = \pm 2$$Das \(\pm\) steht vor(!) der Wurzel.

Answer 5

Hallo

wenn ich nicht wüsste,was √ bedeutet, wäre es jetzt nicht klarer, denn es sieht so aus als könnte √a jede positive oder negative reelle Zahl sein. Woher weiss ich dann das x^2=a sein muss?

Für mich ist also das keine Definition. √a=x ist doch gerade durch x^2=a bestimmt.  und für alle reellen geraden Wurzeln kannst du ja dasselbe schreiben.

Gruß lul

Comments

Wie würde die Definition aussehen?