Extremstellen, Minima und Maxima

Question

Folgende Funktion ist gegeben:

\( \frac{x^2}{(x-1)^2} \)

Ich habe mögliche Extremstellen berechnet, indem ich die 1. Ableitung 0 gesetzt habe.

\( \frac{-2x}{(x-1)^3} \) = 0 und da erhalte ich: x=0

Und um diese Extremstellen zu überprüfen, muss ich ja den x-Wert in die 2. Ableitung einsetzen, also:

\( \frac{4*0^2+2}{(0-1)^4} \) = 0 und da erhalte ich als Ergebnis die 2. Dann ist doch die 2 ein Tiefpunkt, oder?

Ich verstehe jetzt ehrlich gesagt Minima und Maxima nicht genau.. Sind das die Tief- und Hochpunkte?

Habe ich überhaupt richtig gerechnet?

Answer 1

f''(x) > 0 -> Tiefpunkt
f''(x) < 0 -> Hochpunkt

Ein Punkt besteht aus Extremstelle (x-Wert) und Extremwert/Extremum (y-Wert). Den Punkt nennt man Hoch- oder Tiefpunkt, bzw. Extrempunkt, wenn keiner der beiden vorliegt.

Comments

Ja, ein Minimum ist ein Tiefpunkt, ein Maximum ein Hochpunkt.

Nein.

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Stört dich der Begriff "Punkt"? Soll ich stattdessen "Wert" nehmen?

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Es ist üblich und sinnvoll, zwischen "-stelle" und "-wert" zu unterscheiden.

Answer 2

Es ist alles richtig. Du hast einen Tiefpunkt ausgerechnet (auch Minimum genannt, plural:minima). Ist die zweite Ableitung negativ handelt es sich um einen Hochpunkt (Maximum, plural: Maxima).

Comments

Es ist alles richtig. Du hast einen Tiefpunkt ausgerechnet (auch Minimum genannt,

Das ist nicht richtig!

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In der Diktion der Schulmathematik (und auch anderswo) wird ein Tiefpunkt nicht "Minimum" genannt. Die begriffliche Unterscheidung kann wesentlich für die Interpretation von Aufgabenstellungen sein!

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Bei uns wird das als Synonym gehandhabt. Was ist der Unterschied?

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Ich halte die Diskussion nicht für hilfreich. Die FS hat die Begriffe Minimum und Maximum selber ins Spiel gebracht.

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Frager:

Ich verstehe jetzt ehrlich gesagt Minima und Maxima nicht genau.. Sind das die Tief- und Hochpunkte?

Kommentar koffi123:

Ich halte die Diskussion nicht für hilfreich. Die FS hat die Begriffe Minimum und Maximum selber ins Spiel gebracht.

Wir sind beim Thema.

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"Bei uns wird das als Synonym gehandhabt. Was ist der Unterschied?"

Was heißt "bei uns"?

Zu Hause in der Familie?

Beim Dozenten??? (Wenn ja, was ist er eigentlich von Beruf?).

Zur Klarstellung; Ein Minimum/Maximum ist ein minimaler/maximaler WERT.

Wenn eine Funktion f(x) den Tiefpunkt T(3|8) besitzt, sind folgende Formulierungen richtig:

- "Die Funktion hat an der Stelle 3 ein lokales Minimum."

- "8 ist ein lokales Minimum von f".

Answer 3

Dann ist doch die 2 ein Tiefpunkt, oder?

Das ist sicher falsch. Ein Punkt hat immer zwei Koordinaten.

Möglicherweise ist der Punkt T(0|2) ein Tiefpunkt.

Nennen wir die Funktion einmal f. Wenn das oben stimmen würde, nähme die Funktion f an der Stelle x=0 das relative Minimum y=2 an.

Aber: Schau mal den Graphen an.

~plot~ x^2/(1-x^2);{0|0} ~plot~

Das kann nicht stimmen. Der Punkt T(0|2) liegt nicht auf dem Graphen. Die Funktionswerte der Funktion bekommst du nur, wenn du die Stelle x=0 bei f(x) einsetzt und nicht bei der zweiten Ableitung.

f ''(0) = 2 sagt dir nur, dass der Graph an der Stelle x=0 nach links gekrümmt ist. D.h. die gefundene Nullstelle der Ableitung ist eine relative Minimalstelle. Der Tiefpunkt ist T(0|0). Lokal ist der Funktionswert y=0 minimal. D.h. das relative Minimum an der Stelle x=0 ist y=0.

Global gibt es übrigens kein Minimum von f, da die f nach unten nicht beschränkt ist, wenn der Definitionsbereich nicht beschränkt ist.

Nebenbei:

Schreibe bitte jeweils an, was du ausrechnest. f(0) = , f' (0) = ... , f '' (0) = ... oder was?

Nur so wird der Rechenweg vollständig und damit vielleicht als korrekt gewertet.