Wie kann ich ein Erzeugendensystem von Vektoren überprüfen?

Question

wie überprüfe ich denn, ob span(v1..v4) beispielsweise ein EZs von R³ bildet?

gibt es da einen ganz bestimmten weg den ich zu befolgen habe?

beispiel:

v1: (1 3 4), v2: (-2 -6 -8) v3: (-1 2 -2) v4: (3 -1 4)

sollte ich zuerst hierbei ein LGS aufstellen und diesen mit dem Nullvektor gleichsetzen oder schon direkt anfangen die Dimension zu vergleichen? laut Lösung wäre diese Aufgabe ein Ezs, was ich nicht nachvollziehen kann, weil die Dimension des Spans 4 beträgt und kein ezs von R³  bilden kann.

Bitte um Hilfe und bedanke mich im Voraus

Comments

Die Dimension des Spans kann nicht grõßer als 3 sein.

Answer 1

weil die Dimension des Spans 4 beträgt

Das ist falsch; denn die 4 Vektoren sind linear abhängig.

Das kannst du mit dem Ansatz

a*v1 + b*v2 + c*v3 + d*v4 = 0

beweisen; denn das entstehende Gleichungssystem hat

mehr als die triviale Lösung z.B a=-2  b=1  c=d=0

Daran siehst du schon:

v2 ist das -2fache von v1, also kann man ihn weglassen und

hat mit v1, v3, v3 eine Basis für den Span (Die sind nämlich lin. unabhängig.)

also ist die dim=3, weil 3 Vektoren eine Basis bilden.

Und wenn man bei einer Basis Vektoren dazu nimmt, bleibt es

immer noch ein Erzeugendensystem.

Übrigens: mehr als 3 Vektoren von R^3 sind immer lin. abhängig.