Aufgabe:
Für welche λ∈R \lambda \in \mathbb{R} λ∈R ist die folgende Menge von Vektoren ein Erzeugendensystem von R3 \mathbb{R}^{3} R3 ?{(1,3,4),(1,λ,5),(1,4,3)}. \{(1,3,4),(1, \lambda, 5),(1,4,3)\} \text {. } {(1,3,4),(1,λ,5),(1,4,3)}.
Problem/Ansatz:
wie kann ich diese Aufgabe einfacher lösen? danke
Was meinst Du mit "einfacher"?
Aloha :)
Wenn die 3 Vektoren den R3\mathbb R^3R3 aufspannen sollen, muss das von ihnen aufgespannte 3-dimensionale Volumen V≠0V\ne0V=0 sein. Über das Volumen gibt die Determinante Auskunft:0≠!∣1113λ4453∣=∣11−11−13λ−34−345−43−4∣=∣1003λ−3141−1∣=−(λ−3)−1=2−λ0\stackrel{!}{\ne}\left|\begin{array}{c}1 & 1 & 1\\3 & \lambda & 4\\4 & 5 & 3\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}\pink1 & 1-\pink1 & 1-\pink1\\\pink3 & \lambda-\pink3 & 4-\pink3\\\pink4 & 5-\pink4 & 3-\pink4\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}1 & 0 & 0\\3 & \lambda-3 & 1\\4 & 1 & -1\end{array}\right|=-(\lambda-3)-1=2-\lambda0=!∣∣∣∣∣∣∣1341λ5143∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣1341−1λ−35−41−14−33−4∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣1340λ−3101−1∣∣∣∣∣∣∣=−(λ−3)−1=2−λFür alle Werte λ≠2\lambda\ne2λ=2 bilden die 3 Vektoren ein Erzeugendensystem des R3\mathbb R^3R3.
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