Für welche Werte von R ist die folgende Menge von Vektoren ein Erzeugendensystem R3

Question

Aufgabe:

Für welche \( \lambda \in \mathbb{R} \) ist die folgende Menge von Vektoren ein Erzeugendensystem von \( \mathbb{R}^{3} \) ?
\( \{(1,3,4),(1, \lambda, 5),(1,4,3)\} \text {. } \)

Problem/Ansatz:

wie kann ich diese Aufgabe einfacher lösen? danke

Comments

Was meinst Du mit "einfacher"?

Answer 1

Aloha :)

Wenn die 3 Vektoren den \(\mathbb R^3\) aufspannen sollen, muss das von ihnen aufgespannte 3-dimensionale Volumen \(V\ne0\) sein. Über das Volumen gibt die Determinante Auskunft:$$0\stackrel{!}{\ne}\left|\begin{array}{c}1 & 1 & 1\\3 & \lambda & 4\\4 & 5 & 3\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}\pink1 & 1-\pink1 & 1-\pink1\\\pink3 & \lambda-\pink3 & 4-\pink3\\\pink4 & 5-\pink4 & 3-\pink4\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}1 & 0 & 0\\3 & \lambda-3 & 1\\4 & 1 & -1\end{array}\right|=-(\lambda-3)-1=2-\lambda$$Für alle Werte \(\lambda\ne2\) bilden die 3 Vektoren ein Erzeugendensystem des \(\mathbb R^3\).