Bestimmen Sie alle Werte λ ∈ R aus der gegebenen Matrix

Question

Aufgabe: Bestimmen Sie alle Werte λ ∈ R, für welche die folgende Matrix über R invertierbar
ist:

A \( \begin{pmatrix} 3 & λ & -λ \\ 2 & -1 & 3 \\ λ+10 & 1 & 1\end{pmatrix} \)

Ist es sinnvoll, die Determinante mithilfe der Regel von Sarrus zu bestimmen?

Und kann/muss ich die Matrix A zuvor vereinfachen?

Danke vielmals!

Comments

Natürlich darfst du zunächst vereinfachen.$$\quad\det(A)=\begin{vmatrix}3&\lambda&-\lambda\\2&-1&3\\\lambda+10&1&1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}3&0&-\lambda\\2&2&3\\\lambda+10&2&1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}3&0&-\lambda\\2&2&3\\\lambda+8&0&-2\end{vmatrix}=2\cdot\begin{vmatrix}3&-\lambda\\\lambda+8&-2\end{vmatrix}\\=2(\lambda^2+8\lambda-6).$$

Answer 1

Idee:

Die Matrix ist invertierbar, wenn die Determinante ungleich Null ist. Also pack den Satz von Sarrus aus und schreibe ihn auf. Setze die diesem Vorgang entspringende Gleichung einmal  größer und einmal kleiner 0.

Wenn ich alles richtig ausmultipliziert habe, erhältst du \(-2\lambda^2 - 16 \lambda + 12>0\) und \(-2 \lambda^2 - 16 \lambda + 12<0\)

Die Lösungemenge dieser beiden Gleichungen, sollte die Lösung des Problems sein.

Comments

Auch hier pro salute omnium:

Du kannst auch nur diejenige Menge berechnen, die Du ausschließst. Also die Determinante gleich 0 setzen.