Unbestimmtes Integral, Substitution

Question

Aufgabe:

∫ x * √(x+3)

Problem/Ansatz:

wenn ich den ausdruck unter der Wurzel Substituiere weiß ich nicht was ich mit dem x vor der Wurzel machen soll.

Bitte um hilfe mit erklärung und erläuterung.

Comments

Du könntest du Wurzel auch als Potenz schreiben und dann mit der Potenzregel lösen.

Answer 1

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Comments

ich verstehe den schritt x = z - 3 nicht, wie kommt man darauf?

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Da Du nach z integrierst,  mußt Du das x in z umwandeln.

z=x+3

x=z-3

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Super, vielen dank für die tolle Antwort und die tolle Erklärung mit den Einzelschritten.

Das hat mir sehr geholfen, war schon am verzweifeln.

Answer 2

Ansonsten mit Substitution:

\(\displaystyle\int x\sqrt{x+3}\:dx\) substituiere u=x+3

\(=\displaystyle\int(u-3)\sqrt{u}\: du\) Durch ausmultiplizieren erhältst du

\(=\displaystyle\int (u^{3/2}-3\sqrt{u})\:du\) Die Summen / Konstanten kannst du vorziehen

\(=\displaystyle\int u^{3/2}\: du -3 \displaystyle\int \sqrt{u}\: du\) Das Integral von \(u^{3/2}\) ist \(\dfrac{2u^{5/2}}{5}\), also

\(=\dfrac{2u^{5/2}}{5}-3\displaystyle\int \sqrt{u}\: du\) Das Integral von \(\sqrt{u}\) ist \(\dfrac{2u^{3/2}}{3}\) u. vereinfachen mit -3

\(=\dfrac{2u^{5/2}}{5}-2u^{3/2} +C\) Rücksubstituieren

\(=\dfrac{2}{5}(x+3)^{5/2}-2(x+3)^{3/2}+C\)

Comments

ich verstehe den schritt x = z - 3 nicht, wie kommt man darauf?

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Wo habe ich denn ein z?

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ich mein u sorry ∫ (u-3)\( \sqrt{u} \)

das u -3 versteh ich net

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Du wählst u=x+3 → dx=du

Und da du vor der Wurzel ein x hast, aber das durch u substituiert wird, ergibt sich

\(\displaystyle\int u^{3/2}-3\sqrt{u} \: du\)