Bestimmen Sie folgendes unbestimmtes Integral mit Hilfe einer linearen Substitution

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie folgendes unbestimmtes Integral mit Hilfe einer linearen Substitution:

\( \int \frac{1}{(4 x+4)^{2}+1} d x \)

Problem/Ansatz:

Hallo, ich hab bei dieser Aufgabe versucht zu integrieren, weiß aber nicht was ich mit der +1 anfangen soll. Kann mir jemand den Lösungsweg zeigen?

Comments

Also [1/-1*4  (4x+4)^-1  +1]

hab ich bin mir aber nicht sicher

Answer 1

Aloha :)

Du hast es hier mit einem wichtigen Standard-Integral zu tun. Wenn man das nicht auswendig weiß, ist es etwas fummelig herzuleiten:$$\int\frac{1}{1+x^2}dx=\arctan(x)+\text{const}$$Am besten lernst du das auswendig.

In deinem Fall$$I=\int\limits\frac{1}{(4x+4)^2+1}dx$$führt die Substitution$$u\coloneqq4x+4\quad\implies\quad\frac{du}{dx}=4\implies dx=\frac{du}{4}$$dann schnell zum Ziel:$$I=\int\frac{1}{u^2+1}\,\frac{du}{4}=\frac14\int\frac{1}{1+u^2}du=\frac14\arctan(u)+\text{const}=\frac14\arctan(4x+4)+\text{const}$$