Zeigen Sie f = x^3 + 2x + 2 ∈ Z3[x] ist irreduzibel

Question

Aufgabe:

 (a)
Zeigen Sie: f = x^3+ 2x + 2 ∈ Z3[x] ist irreduzibel.

(b) Begründen Sie mit Hilfe von Teilaufgabe (a), dass es es einen Körper der Ordnung 27 gibt. Konstruieren Sie einen solchen Körper und begründen Sie kurz, warum die Körpereigenschaften erfüllt sind.

(c) Gibt es einen Körper der Ordnung 6? Falls ja, geben Sie einen an

Answer 1

zu a) Zeige:  f hat in Z3 keine Nullstelle.

(Einfach alle 3 ausprobieren.)

Wäre es reduzibel, wäre ein Faktor vom Grad 1,

würde also eine Nullstelle liefern.    q.e.d