Polynom Interpolation - Tschebyscheff

Question

Aufgabe:

Gegen ist die Funktion f(x) = e^{-x^2}  im Intervall I = [-2,2] . Dieses soll durch ein Polynom 4. Grades interpoliert werden. Es sollen die Tschebyscheff-Stützpunkte und das Interpolationspolynom angegeben werden.

Problem/Ansatz:

Fuer die Tschebyscheff-Stützpunkte habe ich folgende Werte ermittelt.

x_0 = cos(pi/10)

x_1 = cos(3pi/10)

x_2 = cos(pi/2)

x_3 = cos(7pi/10)

x_4 = cos(9pi/10)

Um die korrekten Stellen zu finden muss noch eine Anpassung an den Intervall I vorgenommen werden. Dies geht mit w(t) = 1/2(-2+2+4t) = 2t

=> x^neu = 2 * x^alt

Nun ist mir aber noch nicht ganz klar, wie man daraus das Interpolationspolynom bildet. Kann mir hier jemand weiterhelfen?

Answer 1

Ich nehme an, Du sollst die Koeffizienten \(k_i\) bestimmen für das Tschebyscheff-Polynom \(p(x)=\sum_{i=0}^4 k_i T_i(t(x))\), welches dann durch die 5 Stützpunkte verlaufen soll. \(t(x)=x/2\) - also das \(t\) entspricht dem \(x^{alt}\) und das \(x\) dem \(x^{neu}\), was das Argument für die Funktion \(f(x)=e^{-x^2}\) ist. Berechne zunächst für die Stützstellen die Werte für \(t\) und \(f(x)\): $$\begin{array}{r|rrr}i& t& x& e^{-x^2}\\ \hline 0& -0.95106& -1.90211& 0.02684\\ 1& -0.58779& -1.17557& 0.25108\\ 2& 0.00000& 0.00000& 1.00000\\ 3& 0.58779& 1.17557& 0.25108\\ 4& 0.95106& 1.90211& 0.02684\end{array}$$Dann noch die Werte \(T_i(t)\). Wobei \(T_{i+1}=2tT_i-T_{i-1}\): $$\begin{array}{rrrrr}T_0& T_1=t& T_2& T_3& T_3\\ \hline 1& -0.95106& 0.80902& -0.58779& 0.30902\\ 1& -0.58779& -0.30902& 0.95106& -0.80902\\ 1& 0.00000& -1.00000& 0.00000& 1.00000\\ 1& 0.58779& -0.30902& -0.95106& -0.80902\\ 1& 0.95106& 0.80902& 0.58779& 0.30902\end{array}$$diese Tabelle bildet die Matrix \(M\). Die Spalte mit den Funktionswerten in der ersten Tabelle sei der Vektor \(y\). Nun noch die Gleichung \(M \cdot k = y\) lösen. Das gibt $$k = \begin{pmatrix}0.31117\\ 0.00000\\ -0.44470\\ 0.00000\\ 0.24413\end{pmatrix}$$wie zu erwarten sind die \(k_i\) mit ungeradem \(i\) gleich 0, da die Funktion gerade ist.

Die Graphen von Funktion und Polynom sehen so aus:

Der blaue Graph ist das \(p(x)\). Die Schnittpunkte der Kurven sind die Stützstellen.

Gruß Werner

Comments

Hallo Werner, vielen Dank für deine Anleitung.  Habe es in Maple nachgerechnet, und alles klappt.  Wollte schon immer mal wissen, wie Tschebyscheff-Interpolation außerhalb des Standard-Intervalls funktioniert.

Answer 2

Hallo P32O, wenn die Interpolation von -1 bis 1 gehen soll, dann kann man das Polynom gleich hinschreiben:
p(x) = ½ * c0 + c1 T1(x) + … + cn Tn(x)
Hierbei sind die Ti(x) die Tschebyscheff-Polynome und
ck = 2/(n+1) summe j=0 bis n f(xj)cos(k(j*1/2)h)
mit k = 0 bis n

In deinem Fall geht aber das Interpolationsintervall von -2 bis 2.  Was hier zu tun ist, kann ich nur raten.  Ich würde e^-(2x)^2 von -1 bis 1 interpolieren und hinterher das gefundene Polynom in x-Richtung um den Faktor 2 strecken.  Ob es eine elegantere Lösung gibt, weiß ich leider nicht.