gebrochenrationale Funktionen - Graphen skizzieren ohne zu rechnen?

Question

gibt es eine Möglichkeit ohne großen Rechenaufwand, also durch geschulten Blick, zu erkennen wie man den Graphen zu der folgenden Funktion grob skizzieren würde?

\( f(x)=\frac{(x-3)(x-1)^{2}}{(x+2)(x+1)^{2}} \)

Das soll nur ein Beispiel sein... möchte die Logik dahinter verstehen, damit ich es immer anwenden kann bei solchen Fragestellungen.

:)

Answer 1

ja, die Polstellen befinden sich im Nenner, die Nullstellen im Zähler.

Taucht ein Linearfaktor im Nenner mit gerader Potenz auf, so bedeutet das für die Polstelle, dass der Graph da her kommt, wo er hinging (also aus ∞ nach ∞ oder aus -∞ nach -∞).

Ist die Vielfachheit der Polstelle ungerade, so so kommt der Graph da her, wo er nicht hinging.

Ähnliches gilt für die Nullstellen.

MfG

Mister

Comments

Erstmal danke für die schnelle Antwort.


Könntest du mir das bitte etwas ausführlicher erklären?

Also wenn im Nenner irgendwo eine gerade Potenz auftritt, dann heißt es dass der Graph nicht sein Vorzeichen ändern und genau dorthin wieder zurückkehrt wo er hergekommen ist??

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Ja, so ist es.

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okay danke, aber ich weiß ja gar nicht ob ich das zeichnen unterhalb der schrägen/waagerechten Asymptote beginnen soll oder oberhalb.???

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Du musst die Vorzeichen der einzelnen Linearfaktoren diskutieren. Diese multiplizieren sich zum Gesamtvorzeichen.

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Ich weiß, dass ich dich nerve :/

aber wärst du so freundlich und würdest es mir an meinem Beispiel zeigen wie man genau vorgehen würde?

Also vom Anfang bis zum Ende? :D


Wäre dir sehr sehr dankbar.

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Kannst du doch selbst machen. Du plottest dein obiges Beispiel und schaust dir die einzelnen Null- und Polstellen an und vergleichst diese schließlich mit ihrem Vorkommen als Linearfaktor im Zähler bzw. Nenner.