a) Wir zeigen \(f([0,\infty)) \) ist eine nicht leere nach oben beschränkte Menge, somit existiert das Supremum.
f ist stetig in 0, also für \(\epsilon=1 \) gibt es \( \delta>0\) mit \(|f(0)-f(x)|<1 \) für alle \( x \) mit \( |x|<\delta\).
Ist \( x\in [\delta,\infty)\), dann gilt \( f(x)<1/x\leq1/\delta\).
Ist \(x \in [0,\delta) \), dann ist aufgrund der Umgekehrten Dreiecksunglechung
\(1>|f(0)-f(x)|\geq f(x)-f(0) \)
\(1+f(0)\geq f(x) \)
Also existiert \(f_{sup} \in (0,\infty)\). Nach Definition gibt es Folge \( (x_n)_n \) in \( [0,\infty)\) mit
\( f(x_n)\to f_{sup} \)
Wir zeigen nun, dass \( (x_n)\) beschränkt ist und damit konvergente Teilfolge besitzt. Andernfalls wäre
\( x_n \to \infty \), aber dann \( 0< f(x_n)<1/x_n \) für genug große \( n \), daher
\( f(x_n)\to 0 = f_{sup} \notin (0,\infty)\). Widerspruch.
Sei nun \( (x_{n_k})\) die Teilfoge mit \( x_{n_k}\to y \in (0,\infty)\), dann gilt
\(f(y)=\lim_{k\to \infty} f(x_{n_k})=f_{sup} \)
Somit \( f_{\sup} \in f([0,\infty)\), qed.
b) \("\subseteq" \) hoffe ist klar.
\( "\supseteq" \) Sei \( y \in (0,f_{max}]\) und ohne Einschränkung \( y\neq f_{\max} \) (sonst ist klar). Sei \( m \in [0,\infty) \) die Zahl, für die das Maximum angenommen wird: \( f(m)=f_{\max} \).
Wir müssen zeigen, dass es ein \( x \in [0,\infty)\) gibt mit \(f(x)=y \).
(Intuition: ähnlich wie Mittelwertsatz, aber hier ist Intervall nicht abgeschlossen)
Wir zeigen es gibt ein \( a\in [0,\infty)\) mit \(f(a)<y \). In der Tat für \(a=1/y \)
\( f(1/y)<1/(1/y)=y\)
Und insgesamt
\(f(a)<y<f(m) \)
Anwendung des MIttelwertsatzes auf die Einschränkung von \( f\) auf \( [a,m]\) liefert ein \( x \in [a,m]\)
mit \( f(x)=y\)
Bitte frag, falls etwas nicht klar ist:)
