Beweisen Sie die folgende Ungleichung

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie die folgende Ungleichung:$$\frac { \operatorname { ln } ( x ) + \operatorname { ln } ( y ) } { 2 } \leq \operatorname { ln } \left( \frac { x + y } { 2 }\right)$$Für alle x,y >0.

Verstehe hier die Aufgabe nicht ganz. Kann das Ding umformen wie ich will, komme auf keine Lösung.

Answer 1

Wenn Du die Logarithmus- und Potenzgesetze drauf hast, dann sollte das nicht allzu schwer werden.

$$\frac { \operatorname { ln } ( x ) + \operatorname { ln } ( y ) } { 2 } \leq \operatorname { ln } \left( \frac { x + y } { 2 }\right)$$ Logarithmusgesetz anwenden:$$\frac { \ln(x\cdot y) } { 2 } \leq \operatorname { ln } \left( \frac { x + y } { 2 }\right)$$$$\ln\left[(x\cdot y)^{\frac{1}{2}}\right] \leq \operatorname { ln } \left( \frac { x + y } { 2 }\right) \quad |e^{(...)}$$ Quadrieren:$$(x\cdot y)^{\frac{1}{2}} \leq  \frac { x + y } { 2 }  \quad |\uparrow^2$$$$x\cdot y \leq  \frac { (x + y)^2 } { 4 }  \quad |\cdot 4$$$$4 x y \leq  (x + y)^2$$$$4\cdot x\cdot y \leq  x^2+2xy+y^2 \quad |-4xy$$$$0 \leq  x^2-2xy+y^2$$ Das ist dann wieder die 2. Binomische Formel:$$0 \leq  (x-y)^2$$ Dieser Ausdruck kann niemals \(<0\) werden, aufgrund des Quadrats.

Comments

Also ist ln(xy)/2 das selbe wie ln(xy)^1/2??

Finde dieses Gesetz nicht in meinem Skript...

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Es gilt \(\log_{b}{x^n}=n\cdot \log_{b}{x}\) - komisch, dass das nicht in deinem Skript steht.

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Jetzt hab ich es verstanden. Vielen Dank! Hätte ich einfach 1/2 * ln (xy) aufgeschrieben hätte ich es wahrscheinlich auch selber hinbekommen... Ein Zeichen dass ich schon zu lange am Schreibtisch sitze... Wie auch immer, danke nochmal.

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In welcher Klasse bist du? Ab einer gewissen Stufe  musst du i. d. R. alles beweisen (oder zu trivial?). Die Regel lässt sich ziemlich leicht den Potenzregeln ableiten...