Die 1 berechnet sich letztendlich aus:$$a +2b + c = 1$$\(a\), \(b\) und \(c\) sollen Stammbrüche sein, d.h. von der Form \(1/n\). Man kann also schreiben:$$\frac 1u + \frac2v + \frac 1w = 1 \quad u,v,w \in \mathbb{N}$$und jede der Zahlen muss größer als 1 sein. Das forme ich um:$$\begin{aligned}\frac 1u + \frac2v + \frac 1w &= 1 \\vw + 2uw + uv &= uvw \\ 2uw &= uvw - vw - uv \\ &= v(uw - w -u) \\ \implies v &= \frac{2uw}{uw - w - u}\end{aligned}$$aus der Bedingung, dass \(a \gt c\) sein soll, folgt \(u \lt w\). Man muss also nur diese Fälle untersuchen. Dazu eine Tabelle für \(v\) in Abhängigkeit von \(u\) und \(w\). In jeder Spalte ist \(u\) konstant und in jeder Zeile das \(w\).:$$\begin{array}{r|rrrr} & u=2 & 3 & 4 \\ \hline w=3 & 12 \\ 4 & 8 & -\\ 5 & - & - & -\\ 6 & 6 & 4 & -\\ \vdots \\ 10& 5& - & - \\ 11& - & - & - \\ 12& - & - & 3\end{array}$$
An sechs Positionen stehen ganze Zahlen. Dort, wo der Wert für \(v\) keine ganze Zahl ist, habe ich den Eintrag weg gelassen. Natürlich ist die Tabelle nicht unendlich groß und es stellt sich die Frage, ob nicht irgendwo anders ganze Zahlen auftauchen. Betrachten wir dazu die Spalte für \(u=2\). In diesen Fall ist$$v_{u=2}(w) = \frac{4w}{2w - w - 2} = \frac{4w}{w-2}$$Der Grenzwert für \(v_{u=2}\) ist$$\lim_{w \to \infty} v_{u=2}(w)= \frac{4w}{w-2} = 4$$ \(v\) wird aber nie identisch zu 4 werden, und da in der Liste oben bereits die 5 auftaucht, also der nächst größere Wert, und \(v\) mit wachsendem \(w\) immer kleiner wird, wird in dieser Spalte auch nie wieder eine ganze Zahl erscheinen.
In der Spalte für \(u=3\) ist es ähnlich. Der Grenzwert für \(v(u=3)\) ist $$\lim_{w \to \infty} v_{u=3}(w) = \frac{3w}{w - 3} = 3$$ und die nächst größere Zahl (die 4) steht schon in der Tabelle. Auch in dieser Spalte wird es also keine weiteren Ergebnisse mehr geben. Für die Spalten mit \(u=4\) sieht es so aus:$$\lim_{w \to \infty} v_{u=4}(w) = \frac{8w}{3w - 4} = \frac 83, \quad \quad \left \lceil \frac 83 \right \rceil = 3$$Die kleinst mögliche ganzzahlige Lösung wäre hier eine 3. Und die haben wir schon (s.o.).
Und für \(u \gt 4\) ist der Grenzwert und damit die kleinst mögliche ganze Zahl:$$\lim_{w \to \infty} v_{u>4}(w) = \frac{2uw}{(u-1)w - u} = \frac {2u}{u-1}, \quad \quad \left \lceil \frac {2u}{u-1} \right \rceil = u \gt 4$$Der nächst kleinere Wert für \(v\) wäre aber $$v(u=5,w=6) = \frac{2\cdot 5 \cdot 6}{5 \cdot 6 - 6 - 5} = \frac{60}{19} \lt 5$$ Alle weiteren Werte für \(v\) sind kleiner. Und da zwischen 4 und 5 keine ganzen Zahlen mehr liegen, gibt es auch keine weiteren Ergebnisse. Es bleibt bei $$\begin{aligned} a = \frac 12, \quad b = \frac 1{12}, \quad c=\frac 13\end{aligned}$$ bis $$\begin{aligned} a = \frac 14, \quad b = \frac 1{3}, \quad c=\frac 1{12}\end{aligned}$$ (siehe Tabelle oben für die anderen vier Lösungen).
Gruß Werner
